Сергей Павлович, вы специалист в области прикладной математики и математической физики, заведующий сектором Института прикладной математики имени М. В. Келдыша АН СССР и профессор Московского физико-технического института, одним словом, человек, для которого события, происходящие в прикладной математике и особенно в той ее части, что связана с описанием физического мира, — ежедневная реальность. Каково нынешнее положение дел в этой науке, как чувствует себя сегодня древнейшая и практичнейшая из математических дисциплин, прародительница всех нынешних самых сложных и абстрактных направлений и течений?

- В прикладной математике сейчас происходит революция. Тут ни в малой степени нет преувеличения меняются не только понятия и методы, но и сама стратегия исследования. Вызвана же эта ломка двумя тесно связанными обстоятельствами.

Прежде всего, прикладная математика, издревле привыкшая чутко улавливать требования жизни, не могла не откликнуться на возникающую в последнее время практическую необходимость работать с нелинейными процессами, то есть описывать их с помощью уравнений. Ранее это математике в большинстве случаев было не по силам, и потому такая задача не ставилась.

Между тем с каждым годом, с каждым новым серьезным исследованием практические в любой области науки становилось все яснее, что надо менять подход к природе: если раньше считали нелинейность лишь «испорченной» линейностью, ее экзотическим частным случаем, то теперь становилось очевидным, что все явления природы нелинейны, а их линейные описания — просто от бедности, от упрощения. Всюду, куда ни глянь, следствие лишь на каком-то ограниченном этапе изменяется пропорционально вызывающей его причине, а до и после этого линейного участка наблюдаются скачки, пики, провалы — все что угодно, но только не скучное, лишенное неожиданностей и разнообразия бытие причин и следствий.

Другая причина, приведшая к нынешним глубоким изменениям в прикладной математике, — широкое распространение ЭВМ, появление их не только в вычислительных центрах, но и на столах у отдельных исследователей, — дала толчок новым способам решения математических задач. Возникающие в сознании ученых математические образы, характерные именно для нелинейных систем, оказалось возможным материализовать с помощью персональных компьютеров. Поэтому необходимым инструментом не только для математика-прикладника, но и для математика-теоретика становится мощная, удобная и компактная вычислительная машина, точнее, вычислительный эксперимент, проводимый благодаря ей.

Это словосочетание еще не стало привычным, хотя оно обозначает новый способ научной работы, я бы даже сказал — научного мышления. Поэтому, думаю, лучше всего процитировать слова моего учителя, академика Александра Андреевича Самарского, из его статьи «Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент», опубликованной недавно в таком отнюдь не специально математическом журнале, как «Коммунист».

«Вычислительный эксперимент, — пишет он, — предназначен для изучения, прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно». К этому весьма точному определению хочу добавить лишь, что на экране персонального компьютера нередко удается наглядно представить те образы, которыми оперирует математик, деформировать их, рассматривать их развитие во времени. Это — огромное подспорье в нашей работе, источник новых идей и вдохновенья, которое, как говорил Пушкин, в математике нужно так же, как в поэзии.

Одно из наиболее глубоких следствий нынешней революции в математике состоит в том, что наука эта стала намного ближе к изучению природы, особенно живой. Тем самым она вступает в новый, неизведанный мир. Это мир нелинейных явлений, где сплошь и рядом возникают неожиданные связи между структурами и хаосом, между поведением в динамике, в саморазвитии систем и их статистическими, «изначальными» свойствами, между давно привычными нам понятиями и теми, что родились буквально вчера. Парадоксы этого мира видны пока немногим исследователям, но я убежден — они открывают дорогу к значительно более полному и глубокому постижению природы.

Мы начинаем, в частности, понимать, что ответы на бесчисленные вопросы о возможном поведении по-настоящему сложных систем следует искать на пересечении свойств этих систем и окружающей их среды. Нам постепенно становится ясно, что системы, оказавшиеся теперь в фокусе наших интересов, имеют свои стремления, демонстрируют свои предпочтения при выборе из множества возможностей дальнейшего развития. Особенно ярко роль этих внутренних тенденций проявляется в мире живого, ибо подобного рода самоорганизация — один из важнейших принципов его устройства. Она связывается с представлениями о самоподдержании (например, температуры тела животного), регенерации (порезали руку — царапина сама заживает, оторвали у ящерицы хвост — он сам собой отрастает заново), самодостраивании (интуиция в психологических процессах) и так далее.

- Поскольку речь зашла о живой природе, я хотел бы, чтобы вы разъяснили одно обстоятельство, давно, признаюсь, меня занимающее. В последнее время мне не раз приходилось слышать ваши публичные выступления, читать написанные вами и вашими сотрудниками научные работы, в которых так или иначе звучит одна и та же тема. Верно ли, что знаменитая фраза из книги «Что такое жизнь с точки зрения физики» Эрвина Шредингера «Мы должны ожидать, что в живом веществе преобладает новый тип физического закона» не представляется вам правильной? Другими словами, действительно ли вы хотите сказать, что математика нашла закономерности, равно действующие в живой и в неживой природе?

- Мы действительно считаем своим долгом знакомить по возможности более широкую аудиторию с теми, на наш взгляд, весьма важными и далеко идущими выводами, к которым пришли в последнее время в результате долгих и нелегких исследований. Конечно, суждения об особенностях живой и неживой природы специалиста в области точных наук — а я и мои коллеги почти поголовно математики и физики — неизбежно несут на себе отблеск несколько абстрактного подхода, они не опираются на солидную базу знаний конкретных дисциплин, в них отсутствует понимание тонкостей и частностей. Разумеется, мы это сознаем. Но, с другой стороны, в вопросах столь большой общности подобный подход представляется едва ли не единственно возможным.

Да, с позиций диалектики развития знания об окружающем нас мире представляется крайне странным, что в современной науке сосуществуют две различные теории эволюции: одна — для живых, другая — для неживых систем. Одна — биологическая, другая — физическая. Дарвиновская теория зиждется на том, что в мире живого постоянно идет усложнение структур и форм. Второе начало термодинамики Клаузиуса говорит прямо противоположное: в любой изолированной физической системе все процессы идут к выравниванию, упрощению, говоря чуть более научным языком — энтропия неумолимо возрастает. То есть неживая природа эволюционирует «к нулю», к предельной простоте, к полному хаосу.

Разве это не странно? В одном и том же уголке Вселенной в части систем идет процесс созидания, структурирования, а в другой части — разрушения, ломки структур. Этот дуализм в свое время породил даже пессимистические взгляды на судьбы мира: трагическая тепловая смерть Вселенной замаячила на горизонте философского познания. Ей, правда, любили противопоставлять созидающую деятельность разума, конструируя на этой несколько, зыбкой основе теорию о его космической роли, ибо ни одна философия не настолько пессимистична, чтобы допустить, что наш мир непременно должен погибнуть, а спасти его от полного выравнивания температур, как казалось ряду философов, могло лишь вмешательство мыслящей материи, воюющей со всеобщим возрастанием энтропии.

Так вот, сегодня дело видится по-другому. Изучение сложных объектов — главным образом математических, воображаемых, но в какой-то мере и реально отражающих действительность, вполне физических — приводит к мысли, что хаос может рассматриваться как источник высших форм порядка, что среда, предстающая перед нашим взором как совершенно беспорядочное, случайное скопление элементов и форм, на самом деле таит в себе основу для рождения огромного, практически ничем не ограниченного числа упорядоченных форм, сколь угодно сложных и законченных образований.

Возьмите, к примеру, морфогенез — образование тех или иных форм у растений и животных. Вот перед вами обычное куриное яйцо. В нем содержится оплодотворенная клетка и питательная среда. И всегда с неизбежностью, при самых примитивных внешних воздействиях — всего лишь нужный тепловой режим и газообмен с окружающей средой — развивается сложнейшие организм по некоему единому плану, не задаваемому никем извне. Как взрыв, как цепная реакция происходит саморазвитие.

Есть ли возможность хоть как-то подобраться к пониманию этого ежесекундного чуда живого? Не управлять процессом извне, как мы привыкли делать в созданных нашими руками машинах, а возбуждать его естественное течение слабым толчком. Не поток постоянно идущих команд от внешнего по отношению к системе источника, а одноразовый приказ, всего один импульс, раскрепощающий внутренние силы самоорганизации этой системы, которые способны быстро выводить ее на адекватные данной среде структуры, то есть устойчиво в этой среде самоподдерживающиеся и разумно функционирующие. Вот это и значит как говорили древние мудрецы, «действовать в соответствии с путем Природы — путем Дао».

Конечно, биологические системы имеют свои собственные законы, тут со Шредингером никто спорить не собирается. Но вот так ли уж они отличны от тех, что действуют в неживой природе? Скажем, в плазме трудно найти область, где бы не было самопроизвольного возникновения определенных структур. Уже давно экспериментаторы наблюдали в ней процессы самоорганизации, например знаменитые структуры И. Ф. Кварцхавы, когда ток по плазме течет неоднородно, хотя внешнее воздействие на плазму все время остается постоянным. Сравнительно недавно группа ученых из Института прикладной математики АН СССР и Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР, в которую входили академик А. А. Самарский и я, получила свидетельство об открытии № 55, предмет которого — теоретическое обнаружение (впоследствии подтвержденное специально поставленными экспериментами) в плазме саморазвивающихся, самоподдерживающихся и даже размножающихся структур, так называемых Т-слоев.

Как видите, законы неживой природы все-таки в чем-то напоминают биологические, во всяком случае, едва ли стоит говорить об их абсолютной несовместимости. Порядок и там и тут рождается из хаоса, он — результат самоструктурирования среды. Да, конечно, законы живого и неживого различны, но они, «складываясь», образуют некие общие для всей природы законы, образ которых проступает в наших нынешних исследованиях нелинейности.

- Сейчас, после столь серьезной философской «артподготовки», самое время провести небольшую атаку на воображение читателей — дать хотя бы один ясный и доступный обыденному сознанию пример тех процессов, о которых вы только что говорили.

- Отчего же всего один? Извольте, вот вам несколько на выбор. В сковородку наливают не очень толстый слой масла, подсолнечного например, и ставят ее на огонь. Молекулы масла располагаются, естественно, самым беспорядочным образом. Но если перепад температур в слое масла достаточно велик, то приток тепла снизу и отвод его сверху приводит к тому, что благодаря возникающим в ней конвективным потокам жидкость приобретает четкую, ясно видимую даже невооруженным глазом структуру — шестиугольные ячейки, напоминающие пчелиные соты. На границах каждой ячейки возникают нисходящие струи жидкости, а в центре — восходящие. Это так называемый «бенар», пример гидродинамической неустойчивости, названный так по имени ученого, открывшего этот эффект еще в 1900 году. Согласитесь, порядок прямо на ваших глазах родился из хаоса.

Вам нужны еще примеры? Что ж, недаром говорят: если нечто нельзя постичь разумом, то приходится проникнуть в него сердцем. Прислушайтесь к собственному сердцу — в нем тоже постоянно текут удивительные, парадоксальные, а главное, существенно нелинейные процессы, подобные тому, о котором я только что сказал. Они называются автоволновыми, с легкой руки академика Р. В. Хохлова, который ввел этот термин в научный оборот. Автоволна движется по среде без всяческого затухания, сохраняя неизменной свою форму и величину. Потери на естественную убыль внутренней энергии в ней полностью компенсируются за счет подвода энергии извне. И так продолжается неограниченно долго: раз в секунду, пока мы живы, пробегает по мышечной ткани нашего сердца волна возбуждения. И электрокардиограмма свидетельствует, что дело обстоит именно так — налицо незатухающий периодический процесс.

Если же сердцем эту ситуацию постичь вам все же не удастся, то остается понять ее умом, ибо последние нейрофизиологические исследования дают основания предполагать, что обработка информации в коре головного мозга тоже ведется с помощью взаимодействия автоволн возбуждения и торможения, охватывающих обширные его участки, а не путем активности отдельных нейронов, как думали раньше, уподобляя деятельность мозга работе сегодняшних «элементных» ЭВМ. В известном смысле нынешнее стремление создать вычислительные машины совершенно нового типа — построить так называемые «нейрокомпьютеры» — базируется на все более ясно осознаваемом ощущении: пришла пора иных, несравненно более объемных задач, и потому необходимо загодя ковать для них совершенные орудия.

В ожидании их появления математики не сидели сложа руки: ими были в последние годы разработаны некоторые новые методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Если до сих пор в нашей беседе я позволял себе некое дилетантство, рассказывая о вещах, которые хотя и находятся в зоне пристального нашего внимания, но все-таки не являются предметом нашего профессионального знания, то теперь перехожу на твердую почву математики и математического моделирования.

Школьнику уже в младших классах известно, что алгебраическое уравнение первого порядка допускает одноединственное решение. Но если говорить о более сложных — дифференциальных уравнениях, тут уж ответом может быть целое семейство, и не чисел, а функции, каждая из которых после соответствующих подстановок дает, естественно, свои численные ответы.

Дело, однако, не в том, что растет количество ответов, а в том, что каждая из функции — это свой характер рассматриваемых процессов, порой очень своеобразный и непохожий на другие. Получается, что явления, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, могут иметь сразу несколько типов поведения и количественные изменения могут приводить в них к качественным — бифуркациям, фазовым переходам, структурированию.

Теперь сам собой разумеющийся вопрос: что же это за системы, которые надо представлять такими удивительными уравнениями? Ответ мой, боюсь, покажется вам совсем уж диким: это практически все системы, что мы наблюдаем вокруг себя.

- Следует ли понимать вас в том смысле, что более глубокое изучение любого, даже хорошо нам известного явления, позволяет усмотреть в нем некоторые нелинейные эффекты?

- Да, это именно так, но я бы еще уточнил: описывая тот или иной природный феномен, часто стремятся построить такую математическую модель его, чтобы в нее входили только линейные уравнения, решать которые умеют. Поэтому неизбежны были упрощения, и исследователи сознательно мирились с ними, уповая на то, что неучтенные моделью факторы малосущественны. Теперь же, когда подобные упрощения более не являются обязательными, вскрылось, что некоторые из отброшенных при линеаризации особенностей решений в известных условиях могут играть важную, а порой и определяющую роль.

Ведь что такое, в конечном итоге, нелинейность, если говорить о ней в научных терминах? Это значит, что несправедлив принцип суперпозиции (то есть наложения): нельзя утверждать, что воздействие на систему одновременно причин А и Б равно сумме воздействий на нее этих причин по отдельности. Пусть причина А увеличивает нечто в системе в два раза, а причина Б — в три раза. Но вместе они увеличат это нечто не в шесть, а, скажем, в двадцать раз. Так может получаться, например, в тех случаях, когда до какой-то границы система ведет себя пропорционально внешним воздействиям, а за ней — скачком меняет свои свойства. Описать систему математически с учетом присущих ей нелинейностей — это значит учесть многие режимы, «незаметные глазу», но существующие в реальности.

Одно из первых нелинейных уравнений, позволивших обнаружить такие важные аномалии, было выведено еще в прошлом веке Д. Кортевегом, заведовавшим кафедрой математики и механики Амстердамского университета, и его учеником, де Фризом, исследовавшими распространение волн в жидкой среде. Как писал в семидесятых годах уже нашего века американский математик М. Крускал, «Кортевег и де Фриз, по-видимому, предложили простейшее дифференциальное уравнение… не охватываемое классическими методами».

Это уравнение, как всякое дифференциальное уравнение в частных производных, имеет несколько решений. Чтобы выбрать одно из них, необходимо задаться начальными условиями. И вот, когда, варьируя их, стали анализировать эволюцию одного из решений, математики пришли к поразившей их ситуации: при определенных условиях решение уравнения Кортевега — де Фриза представляет собой систему уединенных волн, каждая из которых движется со своей собственной постоянной скоростью, при этом — хотя уравнение сугубо нелинейное! — сохраняя свою форму и амплитуду. Более того, одна такая волна — их назвали солитонами — может догнать другую и даже пройти сквозь нее, не изменив своей структуры.

- Позвольте задать вам вопрос, быть может, излишне приземленный: имеют ли эти безусловно интересные математические исследования какое-либо, пусть самое отдаленное, отношение к практическим нуждам сегодняшнего дня?

- Самое непосредственное. Как вам должно быть известно, наиболее перспективным видом связи сейчас считают оптическую: одна пара оптических волокон может пропустить в секунду 90 миллионов бит информации, что соответствует примерно 1400 одновременно идущим телефонным переговорам. Большего достичь не удается лишь потому, что оптический импульс «размывается». Фирма «Белл» провела недавно исследования, которые показывают, что уравнения, описывающие прохождение импульсов по оптическому волокну, не слишком отличаются от тех, решение которых допускает появление солитонов. Солитоны же очень устойчивы к «размыванию», они великолепно «держат форму», поскольку имеют свойство, чрезвычайно похожее на регенерацию у живых систем: если, например, срезать часть максимума уединенной волны, то причиненный ей ущерб возместится — солитон самовосстановится. В связи с этим специалисты считают, что удастся сформировать весьма короткие солитонные импульсы и обеспечить таким образом чрезвычайно высокую скорость передачи информации — порядка десяти, а быть может, даже и ста миллиардов бит в секунду. Полагаю, улучшение свойств канала связи в тысячу раз вы не посчитаете чисто математическим упражнением, не имеющим отношения к запросам практики?

- Сергей Павлович, мой предыдущий вопрос не следовало понимать в том смысле, что в наше время кто-то еще думает, будто от фундаментальной науки, в том числе математики, следует ждать сиюминутной отдачи. Нет, говоря о практических нуждах сегодняшнего дня, я хотел лишь узнать, складываются ли неожиданности типа появления солитонов в некую единую картину. Другими словами, рождается ли на наших глазах некая общая теория нелинейных процессов или же пока еще налицо лишь чисто феноменологический подход к наблюдаемым необычным явлениям?

- Я бы сказал так: мы стоим на пороге создания такой теории. Огромное разнообразие и сложность нелинейных задач все-таки не помешали выделить простейшие элементы и понятия, которые встречаются практически в каждой из них. Об этом мне хотелось бы поговорить несколько подробнее.

Прежде всего должен сказать о таком практически неизбежном для любой нелинейной системы явлении, как бифуркация (расслоение) решений. Вот добрался сказочный богатырь до лежень-камня, а на нем написано, что впереди не одна, а три различные возможности: направо поедешь — коня потеряешь, налево поедешь — головы не сносишь, а прямо поедешь — красну девицу сыщешь. Можно пример и более реалистический. На прямоугольную в сечении колонну сверху давит все увеличивающийся и увеличивающийся вес. До какого-то предела колонна наша укорачивается и утолщается, оставаясь при этом прямой. Но при некоторой критической для нее нагрузке она все-таки прогнется — вправо или влево. То есть было одно состояние равновесия — стало два. Это типично нелинейное явление. Таких ветвлений-бифуркаций может быть несколько, и по одному этому ясно, насколько велико число возможных решений даже самого простого нелинейного уравнения.

Другое крайне важное для понимания протекающих в нелинейных системах процессов понятие — притягивающее множество, или аттрактор (от английского to attract — притягивать). Это совокупность точек, к которой стремятся, «притягиваются» все близкие решения. Как ни вольно ведут себя решения нелинейных уравнений, но все-таки и они подчинены строгим законам: попав в зону притяжения аттрактора, решение «сваливается» на него, как камень на Землю.

И наконец, такое фундаментальное понятие, как диссипативные структуры, которое ввел в научный оборот Илья Пригожин. Один из наиболее простых и наглядных примеров таких структур — тот же «бенар», конвективная ячейка. Ведь она имеет строго определенные размеры, которые не зависят от окружающей среды — скажем, от величины сковородки, на которую налит слой масла. Вся суть эффекта состоит именно в том, что в определенных классах открытых систем, то есть систем, и рассеивающих свою энергию в окружающее пространство, и имеющих подвод энергии извне, возникает самоорганизация — образуется некая структура, определяемая собственными свойствами системы, диссипативная структура. О ней можно сказать и по-иному: гидродинамическая неустойчивость подогреваемого слоя масла приводит к возникновению конвекционных потоков, вызывает неравновесность системы, а она, в свою очередь, становится причиной возникновения в системе порядка из хаоса. Локализованные в среде процессы — диссипативные структуры подобного рода — наблюдаются в природе не так уж редко.

«Между упорядоченностью, устойчивостью и диссипацией возникает в высшей степени нетривиальная связь, — пишут в своей знаменитой книге «Самоорганизация в неравновесных системах» Г. Николис и И. Пригожий. — Диссипативные структуры являют собой поразительный пример, демонстрирующий способность неравновесности служить источником упорядоченности».

Бифуркации, то есть немыслимые в линейных системах ветвления решений уравнений, описывающих нелинейные системы, когда процесс может идти один раз тем, а другой — иным путем, тоже, в свою очередь, связаны и с аттракторами, и с диссипативными структурами. Можно было бы привести тому массу доказательств, но остановлюсь всего на одной сравнительно недавней истории. Английский математик Алан Тьюринг в ряду других своих разнообразных интересов занялся вопросом о том, как клетки организма узнают о том, какой именно орган им надлежит образовывать в ходе развития. Ведь в каждой из них содержится одна и та же генетическая информация, и клетка, ставшая впоследствии частью печени, в этом смысле ничем ранее не отличалась от соседней, превратившейся в элемент сердечной мышцы. Тьюринг предположил, что формообразованием — морфогенезом — в организме могут управлять химические процессы. И вопрос, поставленный им перед самим собой, звучал примерно так: возможно ли из самых простейших химических представлений вывести необходимость возникновения структур в первоначально однородной ткани?

Ход его рассуждений был несложен. Пусть одно химическое вещество стимулирует рост ткани, а другое, наоборот, замедляет его. (Сейчас, спустя тридцать лет после этих его исследований, мы знаем, что такие вещества и вправду существуют, — это разного рода активаторы и ингибиторы, во множестве и хорошо известные нынешним биологам, но тогда предположение Тьюринга было всего лишь гипотезой.) В тех областях пространства, где первого вещества много, а второго мало, рост клеток станет идти особенно интенсивно. В результате кропотливого математического анализа с использованием всех упомянутых понятий выяснилась вещь поистине поразительная. Получилось, что, учитывая в уравнениях лишь простейшие химические реакции и диффузию, можно объяснить крайне сложное явление — появление пространственной неоднородности, возникновение структур, то есть в конечном итоге — сделать шаг к пониманию морфогенеза.

- Боюсь, мало кто из биологов согласится с вами. Едва ли на самом деле морфогенез можно считать объясненным и даже описанным на математическом языке.

- Никто и не утверждает ничего подобного! Работа Тьюринга отнюдь не претендовала на полное решение проблемы формообразования в живом мире. Но она оказалась пророческой в том смысле, что предложенные им простейшие модели дали жизнь более тонким исследованиям живой ткани. Кроме того, подобные решения были найдены в моделях химии, физики плазмы, гидродинамики и даже экономики. То есть обнаружилась всеобщность процесса образования структуры из однородной среды, когда выполняются все те же названные в нашей беседе условия, — система открытая, а уравнения, описывающие протекающие в ней процессы, нелинейные.

Отчего же тогда представления о появлении порядка из хаоса, о самоорганизации в живой природе не стали до сих пор всеобщим достоянием? Почему ко всем этим работам отношение сегодня сложилось настороженное, на каком основании многие ученые считают их в лучшем случае математической экзотикой, любопытными, но далекими от реальности выкладками? Думаю, дело в том, что научные парадигмы меняются медленно, с трудом, с вполне понятным внутренним сопротивлением. Переход от классической ньютонианской физики к эйнштейновским взглядам на мир занял достаточно много времени, да и до сих пор мы, по чести говоря, не можем считать его совершившимся окончательно. Та же ситуация и в нашем случае. Тьюринг, например, опубликовал свою работу еще в 1952 году в трудах английского Королевского общества, но она практически никем не была замечена.

Да, таких примеров немало даже и в более отдаленные от нас времена. В 1928 году на Съезде русских физиков с докладом выступил аспирант Московского университета А. А. Андронов, впоследствии ставший академиком, главой целой научной школы. Доклад его носил название «Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний». Это небольшое, всего на полторы страницы, сообщение положило, по сути дела, начало многим из нынешних наших работ. Андронов предложил применить к изучению колебаний математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, разработанной Анри Пуанкаре еще в конце прошлого века. До Андронова считалось, что работы эти имеют лишь чисто математическую, абстрактную ценность, он же сумел увидеть их связь с задачами практики. О них мы с вами уже говорили, но только не называя имен Пуанкаре и Андронова. Между тем написанная А. А. Андроновым совместно с А. А. Виттом и С. Э. Хайкиным в 1937 году книга «Теория колебаний» только сейчас оценена по-настоящему, а быть может, и теперь еще до конца не понята.

Таким образом, наши работы родились не на пустом месте — мы вправе гордиться своими предшественниками. И среди них обязательно следует назвать крупнейших советских математиков академика Андрея Николаевича Колмогорова и академика Ивана Георгиевича Петровского, которые совместно с Н. С. Пискуновым задолго до работы А. Тьюринга, еще в 1937 году, опубликовали статью, где содержались весьма схожие идеи.

Сергей Павлович, в беседе, опубликованной в прошлом номере нашего журнала, вы рассказывали о ряде революционных открытий в математике и синергетике. Как лично вы вступили на новую дорогу в исследованиях, каким образом открытые нелинейные системы оказались в центре вашего внимания?

- Что касается открытости систем, то закрытых в природе, по сути дела, нет. Это только термос, в котором заключена нагретая жидкость, да еще несколько столь же редко встречающихся искусственно созданных конструкций удовлетворяют требованию автономности от среды. В них, действительно, все процессы идут к выравниванию температур, неоднородностей, всплесков. В жизни же любая система связана потоками энергии и вещества с окружающим миром. И почти те же самые слова я мог бы сказать о нелинейности. Копни чуть глубже — и ты всегда ее обнаружишь. Правда, у многих открытых систем есть термодинамическая ветвь, но важно, что это не единственный путь их развития.

Я работаю в Институте прикладной математики имени М. В. Келдыша АН СССР и многие годы участвую в математическом моделировании различных физических, технических и — совсем немного — биологических процессов. В частности, вместе с академиком А. А. Самарским я участвовал в постановке вычислительного эксперимента в области физики высокотемпературной плазмы. Там присутствует термоядерный источник тепла, который с ростом температуры начинает работать интенсивнее, а это, в свою очередь, вызывает повышение температуры. Уравнения, описывающие процессы в плазме, существенно нелинейные. Чтобы решить их, необходимо использовать мощные компьютеры. Этим как раз мы и были заняты. И вот в процессе получения решений этих и подобных им нелинейных дифференциальных уравнений постепенно рождались мысли, о которых вкратце шел рассказ в прошлый раз.

Что же до плазмы, то новая идеология позволила понять, что в ней образуются области локализации процессов — структуры, неоднородности — и, чтобы их возбудить, энергию надо подавать не вообще куда-нибудь, а в строго определенные «точки акупунктуры», что дело даже не в самой подводимой энергии, а в топологии ее распределения в пространстве. Кроме того, события, происходящие в нелинейных средах, вызывают в памяти древний символ «инь-ян»: для поддержания динамического равновесия включаются процессы, противоположные только что действовавшим.

- Сергей Павлович, случайно ли в вашей лексике появились явно выраженные восточные элементы: акупунктура, инь-ян?

- Наверное, нет, не случайно. Мои коллеги, да в какой-то мере и я, с большим вниманием изучаем различные представления о мире, сложившиеся у людей в разные эпохи и в разных странах. В этом особенно интересны инварианты культуры, позволяющие уйти от господствующей парадигмы, «расшатать» наше видение мира, обнаружить новые способы его постижения. В частности, очень важно знакомство с основами восточных философий. Тут огромную помощь оказала нам «Японская художественная традиция», книга, написанная Татьяной Петровной Григорьевой. Удалось обнаружить не менее двухсот совпадений мыслей и взглядов, о которых идет речь в этой работе, с тем, чем заняты ученые в науке о самоорганизации — синергетике. Конечно, это игра ума, но игра конструктивная, эвристичная, позволяющая увидеть нечто новое или как минимум разглядеть аналогию во внешне ничем не похожих вещах. И главное: древние мудрецы рассуждали о хаосе и порядке, о внутреннем устройстве мира, то есть о тех же самых вещах, что волнуют теперь и нас.

Привести пример, характерный для изучаемых совпадений в воззрениях древних философов и некоторых нынешних математических исследованиях, не так легко — разговор получается слишком уж специальным. Но вот вам ситуация, описанная в одной из наших работ. Выяснилось, что в некоторых пространственных точках тепловых структур процессы идут так, как они шли во всем объеме системы в прошлом, а в некоторых — так, как им еще только предстоит протекать в будущем по всей структуре. В то же время все эти участки существуют в настоящем. Это не просто рассуждения, но вполне точный математический результат. И в древних учениях мы тоже находим указание на то, что будущее (!) и прошлое переплетены в настоящем.

Дело в том, что в современной математике интенсивно развивается аппарат, позволяющий ответить на вопросы: куда идут процессы, каковы внутренние тенденции развития процессов, когда пройдет достаточно много времени? Для некоторых классов нелинейных уравнений удалось установить, что развитая стадия процессов приводит к возникновению структур различных типов, описываемых так называемыми инвариантно-групповыми решениями. Эти решения играют роль аналогов второго начала для открытых нелинейных систем. В них пространство и время не свободны, а связаны инвариантами. Для определенных типов инвариантно-групповых решений показано, что процессы вблизи центра сегодня идут, как шли во всей структуре в прошлом, а на периферии структуры сейчас идут, как пойдут во всей структуре в будущем.

Одна из задач, которую мы тут решаем, — избавление от въевшихся в сознание мифов, будто внешним воздействием на сложную систему ее всегда можно коренным образом перестроить, как нам хочется. Нет, это странный для нашего времени идеализм.

Мозг, психика, экономика, экология — все это сложнейшие, если их попытаться описать математически, открытые нелинейные системы, и управлять ими «командными», «административными» методами не удается, необходимо учитывать структурирование, происходящее в них по законам самих этих систем. Древние мудрецы понимали это, как ни обидно, куда лучше нас, идея саморазвития сущего была им доступна, более того, определяла их философию, их мировоззрение. На Древнем Востоке, в Элладе философы развивали идеи о непроявленных потенциальных формах, скрытых в едином начале.

Конечно, рассуждения их были чисто умозрительными, они не обладали ни математическим аппаратом, ни методологией проверки своих идей в эксперименте. Сегодня же экспериментально и на математических моделях обнаружено, что в природе — в химии, физике плазмы, в твердом теле, в астрофизике, в некоторых активных биологических средах (например, в процессах, идущих в сердечной ткани) — существуют многочисленные явления самоорганизации и возникновения структур в виде локализованных на определенных участках среды процессов или же процессов, имеющих определенную геометрическую форму и перемещающихся по среде.

Но, конечно, это происходит не во всех средах и далеко не при всех условиях. Поэтому необходимо установить, какие именно среды способны к самоорганизации, какие структуры возникают на них, единственна ли создающаяся структура или возможен целый спектр их, как все это зависит от свойств среды, ее параметров.

Так, в синергетике ставится одна из фундаментальных задач этой науки — поиск собственных функций нелинейной среды, то есть устойчивых способов организации процессов в ней, которые ей адекватны и к которым эволюционируют все другие состояния среды.

А дальше возникает вопрос уже почти чисто философского звучания. Вот перед нами некая среда, и мы, пользуясь определенным запасом энергии и свойственной человеку уверенностью, будто ему дозволено делать с природой все, что заблагорассудится, пытаемся навязать этой среде какую-то организацию, — например, заставляем ее быть нагретой до высокой температуры в определенной области, удерживаем ее в некоторой геометрической конфигурации внешними полями, и так далее. Очень часто так именно и поступают, даже с экологической средой. И именно экология показала, что с открытой нелинейной системой подобный подход не дает ожидаемых результатов. Если не учитывать собственные тенденции развития процессов в данной среде, то, как ни старайся, ничего на ней не построишь. Можно как угодно менять характер воздействия на нее, деформировать ее самым жестоким образом, а она все равно «свалится» на одно из устойчивых своих состоянии — на свои собственные функции.

Это правила запрета. Они говорят, что бессмысленно тратить энергию и время на насилие над сложными системами. Надо знать, как они функционируют, и с минимальными усилиями возбуждать то, что им адекватно. Нужно учитывать собственные реакции системы на внешние воздействия.

Кстати, об умозрительности и абстрактности рассуждений, свойственных ученым древности. Вовсе не в старинных фолиантах, а во вполне современных изданиях приходилось читать, например, что некий американский специалист по математической биологии, попав на конгресс по синергетике в ФРГ и прослушав доклад о не раз уже упоминавшейся нами гидродинамической неустойчивости, приводящей к возникновению бенара, вдруг пришел к выводу, что ячейки эти похожи на рисунки наркоманов, когда тех просили изобразить по памяти свои зрительные галлюцинации. И тут же родилась гипотеза: наркотики действуют на психику таким образом, что изображение, которое видит человек, становится неустойчивым. Однако при определенной дозировке перед глазами наркомана возникают устойчивые структуры, организованные наподобие «бенаров». Чем эта гипотеза современного ученого лучше и серьезнее, нежели критикуемые нами за свою «поверхностность» и «недоказанность» утверждения древних?

- Позвольте тогда уж и мне привести цитату, заранее заготовленную перед встречей с вами. Фримен Дайсон, американский физик-теоретик, в работе «Нарушая покой Вселенной» писал: «По мере того, как будут углубляться наши знания в биологии, мы столкнемся с тем, что различия между биологией и электроникой станут все более стираться». Как выглядит эта в высшей степени непривычная мысль в свете нынешних исследований? В самом ли деле пришла пора утверждать, что наука вплотную подобралась к пониманию единых основ всего сущего, живого и неживого, естественного, природного и искусственного, созданного рукой человека, — «биологии» и «электроники», если пользоваться терминами Ф. Дайсона?

- Слова его не надо, конечно, воспринимать буквально. То, что сделано сегодня, — только приближение к некоторому очень важному и кардинальному рубежу, только предчувствие грядущих радикальных перемен. Создаваемые математиками методы решения нелинейных дифференциальных уравнений — это пока не слишком универсальный инструмент для проникновения в тайны пространственно-временной архитектуры тех сложнейших систем, что окружают нас.

И в то же время нельзя не сказать, что прорыв в доселе неизвестную область все-таки сделан. Он стал возможным благодаря появлению мощных компьютеров, ибо практически все предлагаемые нами способы решения требуют гигантских вычислительных возможностей, которыми прежние ЭВМ не обладали. Тьюрингу же вообще приходилось просчитывать свои модели морфогенеза вручную, и он пророчески указывал в своей работе, что более точный и полный анализ, возможный при использовании компьютера, позволит глубже понять суть явлений, описанных им лишь приблизительно. Появление в научных подразделениях современной могучей вычислительной техники не просто облегчает труд ученых и расширяет диапазон их исследований, — на мой взгляд, нынешняя тотальная компьютеризация способна изменить парадигму науки.

Взять те же нелинейные дифференциальные уравнения. Точное, аналитическое решение их мы в подавляющем большинстве случаев получить не в силах, численные же решения ранее даже не рассматривались ввиду необозримого объема работы. Поэтому вольно или невольно все наблюдаемые процессы сводились к более простым, линейным, мы как бы закрывали глаза на то, что природа вовсе не обязана быть такой, чтобы нам удобно было описывать ее теми уравнениями, с которыми мы знаем, как работать. Теперь же этот внутренний запрет не давит более на сознание исследователя. Мы все больше сознаем, что мир — это эволюция нелинейных систем, что он многомерен, многовариантен.

Как классическая ньютонианская физика оказалась лишь частным случаем релятивистской эйнштейновской, так и закрытые системы, и стремление процессов к термодинамической ветви, по преимуществу изучаемые нами до сих пор, выглядят теперь лишь вырожденными открытыми, или частным случаем неравновесной термодинамики. И точно так же нелинейная вселенная гораздо богаче «линейного» мира, ибо она включает его в себя как одну из миллионов возможностей. Поэтому нелинейные уравнения, к пониманию которых мы с помощью вычислительных машин и нелинейной математической физики теперь подошли совсем близко, соединяют в себе множество линейных, привычных уравнений, то есть и тут мы поднимаемся на следующий этаж общности, генерализации нашего взгляда на природу и присущие ей законы.

- В таком случае хотелось, чтобы в заключение вы сказали хотя бы несколько слов об этих новых законах, контуры которых стали проглядывать в исследованиях нелинейных структур.

- Поскольку речь пойдет о вещах сугубо научных, о математике, доступной лишь профессионалам, я вынужден быть весьма приблизительным в своих словах. С этой оговоркой прежде всего хочу сказать о теории универсальности, построенной американским математиком М. Фейгенбаумом. Он успешно использовал в своей работе ЭВМ и сумел вывести удивительные закономерности.

Между хаосом и порядком существует, как выяснилось, глубокая связь, которую удалось зафиксировать с помощью уравнений, относящихся к классу так называемых функциональных, теория которых начала усиленно развиваться в последнее время. Непериодический, случайный процесс возникает как предел все более сложных структур, хаос появляется в результате сверхсложной организации! Можно сказать, что системы, где наблюдаются множественные ветвления — бифуркации, достигают в своем развитии такой степени запутанности, что эта сложность становится уже беспорядком — детерминированным хаосом, как принято говорить в таких случаях в науке. Это вывод чрезвычайно общий — он относится, например, и к моделям экологии, и к моделям гидродинамики, и во многих случаях теория универсальности дает важные качественные предсказания.

Разговоры о свойствах хаоса — отнюдь не абстрактные упражнения математического ума. Задач, где хаотические режимы представляют особый интерес, сейчас появилось в изобилии. Например, установлено, что за прошедшие несколько миллионов лет магнитное поле нашей планеты много раз меняло свою ориентацию, вероятно, хаотическим образом. Но вот теперь оказалось, что в самой простейшей модели, состоящей всего из двух вращающихся дисков, магнитные поля которых взаимодействуют, обнаруживаются подобные же явления. Они выявились при решении системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, где есть странный аттрактор — это так называемая модель динамо Рикитаке.

Другой пример — локализация Андерсона, явление, состоящее в том, что если создать нерегулярную, хаотическую решетку взамен периодической структуры, свойственной решеткам кристаллов, то электрон, движущийся через нее, оказывается локализованным на определенном участке пространства. Классическая задача физики твердого тела допускает, таким образом, совершенно новое, нетривиальное решение. Локализация Андерсона и сама по себе имеет большое теоретическое и даже прикладное значение, но важно еще, что с ее помощью физики надеются решить одну из самых фундаментальных проблем своей науки — феномен пленения кварков. Суть ее вот в чем. Длительные, дорогостоящие и очень непростые эксперименты, проведенные на гигантских ускорителях, до сих пор не позволили разбить элементарные частицы на составляющие их кварки. И многие физики постепенно приходят к выводу, что усложнение техники, совершенствование методики опытов ничего не дадут, — дело не в недостатках постановки экспериментов, а в фундаментальных свойствах материи. А именно выдвигается идея: на сверхмалых масштабах и временах ее неотъемлемое качество — хаос. Если выяснится, что предположение это истинно, то эффект пленения кварков и локализация Андерсона могут оказаться близкими по сути явлениями.

Таким, образом, новые представления развеивают один из мифов старой парадигмы, согласно которому любой процесс в конечном итоге приходит в своем развитии к термодинамической ветви, то есть к выравниванию, деструкции, максимуму энтропии. Диссипативные процессы оказываются не злом, не фактором разрушения, а важной составной частью самоорганизации. Ведь что такое по сути своей диссипация? Это хаос на микроуровне: теплопроводность, диффузия, вязкость — все они обусловлены хаотическим движением атомов и молекул. И вот теперь становится ясным, что хаос на микроуровне играет существенную роль в определении тенденций, «целей» различных процессов на макроуровне. Более того, без него ничего не получается. В синергетике существует даже принцип, пока правда полуэмпирический, то есть строго не доказанный: в любой сложной самоорганизующейся нелинейной системе должны быть диссипативные процессы, другими словами — необходима определенная доля хаоса на микроуровне, которая играет роль силы, выводящей систему в область создания сложной структуры.

Есть некоторые, пусть пока и осторожные, основания полагать, что подобный принцип применим и к социально-экономическим системам, во всяком случае в работах основоположников синергетики Пригожина и Хакена есть неоднократные ссылки на экономические и социологические труды. Вот мы стремимся сейчас придать хозяйственному механизму большую динамичность, способность к самоорганизации с помощью элементов хозрасчета, через растущую роль денежного обмена. «Рыночный хаос» призван сыграть роль случайного процесса, который, независимо от желания и указаний, должен вывести народное хозяйство на определенные типы структур в «экономической среде». Разумеется, эти рассуждения — не более чем аналогии, но они важны, ибо основываются на самых общих принципах сложных систем. Конечно, из них пока не следует конструктивных рекомендаций для экономики, социологии, экологии, но они дают фундаментально новые представления о законах развития изучаемых этими науками открытых нелинейных систем.

Если же, отвечая на ваш вопрос, говорить о делах более конкретных, то в последние годы открыты закономерности объединения простых структур в сложные — установлен своего рода «принцип суперпозиции» для определенного класса нестационарных нелинейных систем. Он основан не на складывании частных решений, которое в данном случае невозможно, а на их своеобразном «пересечении» с возникающим при этом дефектом мощности процесса, который на квазистационарной стадии аналогичен дефекту массы и энергии при объединении ядерных частиц.

Еще один вклад в изменение устаревших взглядов на законы развития открытых нелинейных систем состоит в том, что теоретически доказана принципиальная множественность путей их саморазвития. Разработан математический аппарат, позволяющий для пока простого класса нелинейных моделей предсказать спектр собственных функций и способы инициирования их в данной среде. В зависимости от степени нелинейности модели таких путей и соответствующих им структур даже в простейших теоретически исследованных средах может быть хоть 1015. Это гигантское число красноречиво говорит о том, что и самые простые нелинейные модели глубоко содержательны. Они описывают огромный класс структур. Структуры эти могут быть весьма разнообразными — иметь различную архитектуру. Получается, что одна и та же среда способна содержать в себе практически необъятное многообразие форм и путей их развития. Это обстоятельство чрезвычайно подкупает. Во-первых, для некоторых простых сред удается сформулировать новые математические методы, — например, ряд новых методов изучения решений нелинейного уравнения диффузии, описывающих развитую нелинейную стадию и выход из нее. А во-вторых — свести многообразие форм различных структур к единому началу, к среде, в которой в потенциальной, непроявленной форме уже содержатся все возможные для данной среды структуры.

Эти подходы означают, что и в такой среде, как наука, появилась методология борьбы с бесконечной дифференциацией дисциплин, возник новый мощный интегративный импульс. Между тем одна из главных целей научного познания мира — увидеть общий корень у самых различных явлений.

Кроме того, из сказанного следуют и выводы мировоззренческого порядка. Раз существует много путей развития процессов, значит, нет жесткого детерминизма, железной предопределенности, заданности. В то же время в момент бифуркации (неустойчивости) решения выбор того или иного пути происходит случайно, но все-таки не как угодно, а на поле возможных решений.

Видна аналогия с детерминированным вероятностным поведением элементарных частиц, но в отличие от квантовой механики оно не постулируется, а вытекает из свойств нелинейных систем строго математически. Например, в уже упоминавшейся в нашей беседе задаче Тьюринга возможно несколько путей развития, ведущих к различным стационарным структурам. Какой из них будет выбран — каждый раз решает случай: флюктуации в данный миг толкнут систему к одному пути, в следующий — к другому. Система закономерным образом скатывается к одному из присущих ей аттракторов, но к какому именно в каждый момент — заранее предугадать невозможно. Закономерность и случайность проявляют себя на разных стадиях, создавая возможности и для устойчивости, и для изменчивости эволюционного процесса, а следовательно, и для отбора путей развития, учитывающих и черты внешней ситуации. В этой особенности развития нелинейных систем видно триединство: предопределенность поля путей возможного развития (аналог второго начала термодинамики), возможность вероятностного движения по этому полю (изменчивость) и, наконец, работа отбора, обусловленного внешними влияниями (приспособляемость). И в создаваемых моделях нелинейных систем видны механизмы, осуществляющие это триединство.

Особого внимания заслуживают так называемые режимы с обострением, то есть такие, где величины в некоторых точках растут неограниченно за конечный промежуток времени. Режимы эти подробно исследованы большой группой ученых Института прикладной математики АН СССР и МГУ под руководством академика А. А. Самарского, сотрудником и учеником которого являюсь и я. Но это — отдельная тема, и не хотелось бы комкать разговор о ней. Скажу лишь, что режимы эти связаны с локализацией процессов в пространстве. Кажется парадоксальным, но, скажем, при определенных условиях горение способно идти таким образом, что без всякого внешнего удержания тепло самолокализуется. Так происходит, например, при лазерном термоядерном синтезе — без этого мишень не «зажигается». Однако теоретический выход эффектов локализации тепла и горения гораздо шире их применения в высокотемпературной плазме. Локализация связана с определенным классом режимов с обострением, которые, в свою очередь, порождаются нелинейной зависимостью источника тепла от температуры. Это необычайно своеобразный мир сверхбыстрых процессов.

С такими новыми представлениями связаны и другие парадоксальные явления. Скажем, теоретически обнаружена возможность существования области локализации тепла в виде кристалла, с ребрами и гранями, отделяющими места с высокой температурой от окружающего пространства. Расчеты показывают, что если максимальная температура в таком кристалле ограничена электрон-вольтами, а размеры его — парсеками, то такое космическое «теплотело» может существовать, не изменяя своей кристаллической формы, миллионы лет. Возможны и другие кажущиеся невероятными явления: попятное движение во времени в некоторых открытых диссипативных системах. Мир предстает перед нами не как составленный из отдельных «кирпичиков» (атомов), а в виде процессов наподобие вихрей, турбулентностей, волн, солитонов, диссипативных структур. Вдумайтесь, насколько фундаментальна эта идея. Простейшая среда по некоторым вполне строгим законам пятнается особыми точками, областями, структурами. А хаос в ней играет не только роль «подталкивателя» к свойственным самой среде состояниям, но и роль клея: он согласует между собой отдельные процессы, соединяя простые структуры в сложные, действуя как опытный, хотя и незаметный режиссер.

Это, однако, повторяю, предмет специального обсуждения, которое, надеюсь, у нас с вами рано или поздно состоится.

А вот внимание читателя хотел бы обратить на книги серии «Кибернетика — неограниченные возможности и возможные ограничения». В ней вышли «Информатика и научно-технический прогресс» (издательство «Наука», 1987 год), «Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику со стороны математического моделирования» (издательство «Наука, 1988 год), «Компьютеры, модели, нелинейные явления» (издательство «Наука», 1988 год). И еще — книга А. А. Самарского и А. П. Михайлова «Компьютеры и жизнь» (серия «Ученые — школьнику», издательство «Педагогика», 1987 год).