Аннотация

Рассмотрена возможность применения методов математического моделирования при оценке работоспособности человека в условиях высоких нагрузок. В качестве примера использованы медицинские данные игроков премьер лиги России по футболу.

Поведение организма человека в условиях предельных физических нагрузок представляет большой интерес для различных сфер человеческой деятельности. Для того, чтобы выполнять свои обязанности, люди, работающие в таких условиях, (например, космонавты, летчики и спасатели) должны обладать хорошей физической подготовкой. Организм спортсмена адаптируется к систематическим высоким (иногда близким к предельным) физическим нагрузкам, в связи с чем изменяется и его физиология.

Под воздействием высоких физических нагрузок подвергается перестройке сердечная мышца (как, впрочем, и вся сердечно-сосудистая система), что приводит к формированию так называемого «физиологического спортивного сердца». Являющийся в России основоположником термина «спортивное сердце», Г.Ф.Ланг (1936 г.) так описал изменения сердечно-сосудистой системы у спортсменов: «У тренированных физкультурников, как правило, наблюдается значительное замедление пульса, кровяное давление отчетливо понижено в среднем миллиметров на 20, обнаруживается небольшое увеличение сердца». У не занимающегося спортом человека во время гипертонического криза систолическое артериальное давление редко превышает 250-280 мм рт.ст., а при рывке штанги у подготовленного спортсмена на пике нагрузки может достигать 480мм рт. ст. Одна из наиболее стабильных констант человеческого организма, рН крови, в норме равная 7.4, при максимальных и продолжительных нагрузках у профессиональных спортсменов может кратковременно опускаться до 7.0 (в справочниках по внутренним болезням говорится о том, что значения рН крови менее 7.2 несовместимы с жизнью). Таким образом, спортивная медицина имеет ярко выраженную специфику и требует особых подходов и методов исследования.

Для определения состояния здоровья спортсмена и уровня его работоспособности применяются процедуры нагрузочного тестирования. Показатели аэробной физической работоспособности являются одними из важнейших в игровых видах спорта. В особенности, это касается футбола – спорта номер один в мире. Во время футбольного матча, по меньшей мере, 90% энергии футболиста производится аэробным путём; за 90 минут матча игрок пробегает около 10 км с интенсивностью, близкой к анаэробному порогу (80-90% от максимальной частоты сердечных сокращений). От игрока в матче требуется большая выносливость, за это время он выполняет до тысячи действий секундной длительности [1], что требует высоких показателей аэробного метаболизма. При нагрузочном тестировании футболистов (эргоспирометрии) обычно используются два показателя – уровень анаэробного порога и максимальное потребление кислорода.

Стендовому тестированию были подвергнуты футболисты-мужчины Российской премьер-лиги. Испытание проводили с использованием эргоспирометрической установки Oxycon Alpha фирмы Jaeger (Германия):

Перед началом испытаний проводилась объемная калибровка волюметра и калибровка газоанализаторов газовыми смесями со стандартными концентрациями кислорода и углекислого газа.

Протокол проведения испытаний определяется двумя параметрами: скоростью бега и уровнем наклона дорожки ( G [%]), который связан с углом наклона дорожки соотношением:

= arctan ( G /100)

Нами использовался следующий протокол проведения испытаний (Рис.1):

• Разминка: бег со скоростью 5 км/час при уровне подъема дорожки 0.5 в течение 1.5 минут;
• Основная нагрузка: начальная скорость бега – 7 км/час, уровень подъема дорожки 0.5; возрастание скорости бега при переходе к следующей ступени на 1.5 км/час, уровня наклона дорожки на 0.2, длительность каждой ступени 2 мин.

Рис. 1. Протокол нагрузки

Всего в исследовании анализируются результаты 133 тестов футболистов, чьи антропометрические данные представлены в Табл. 1.

Табл. 1. Антропометрические данные протестированных футболистов

Данные, полученные в ходе эксперимента, были преобразованы в базу данных формата (. dbf ), имеющую открытую конструкцию и допускающую обработку непосредственно в программах анализа данных. Для работы с полученной базой использовался специализированный пакет программ обработки, главным образом, калькулятор произвольных формул и графический иллюстратор, а также методы аппроксимации и непараметрической статистики [4,5].

Согласно [2,3] в качестве критериев достижения максимального потребления кислорода могут быть приняты:

Тестирование может быть прекращено при выполнении хотя бы одного из перечисленных критериев. Кровь из пальца для определения уровня лактата брали у тестируемых спортсменов на 3-ей минуте после прекращения нагрузки, четвертый критерий не мог быть применен для определения момента завершения тестирования и использовался для верификации. Второй критерий связан с опасностью достижения частоты пульса, близкой к максимальной. Поэтому он рассматривался лишь как лимитирующий фактор. В соответствии с [3] уровень потребления кислорода от времени выходит на плато, а выделение углекислого газа продолжает расти. Их отношение, дыхательный коэффициент, также растет и может превысить значение 1.4, то есть выполнится третий критерий. Максимальным значением дыхательного коэффициента при аэробном метаболизме считается 1, выполнение третьего критерия говорит о существенной доле анаэробного метаболизма, который приводит к закислению мышечной ткани и утомлению мышц. Иногда это происходит раньше выхода на плато уровня потребления кислорода. Напомним, что первый критерий плохо формализован.

Кроме того, тестирование может быть прекращено по требованию спортсмена (поскольку в этом случае продолжение тестирования просто невозможно). Особенно это касается спортсменов в игровых видах спорта. Известно, что спортсмены в игровых видах спорта не любят монотонных физических нагрузок и часто прекращают выполнение физической нагрузки, не достигнув своего максимума. В этом случае максимальное потребление кислорода не определяется корректно, т.к. перечисленные критерии не выполнены. Однако хотелось бы оценивать истинное физическое состояние спортсмена даже в таких ситуациях.

Начальное сглаживание

Потребление кислорода в ходе теста регистрируется на каждый вдох/выдох. На Рис. 2 представлена динамика потребления кислорода в расчете на килограмм массы тела (ОПК) у спортсмена с номером nc =25. По оси абсцисс отложено время [с], по оси ординат – ОПК [мл/(мин*кг].

Рис. 2. Пример динамики потребления кислорода в расчете на килограмм

Видно, что запись потребления кислорода сопровождается помехами, при этом есть и «заведомо» артефакты – близкие к нулю значения в конце записи. Для их устранения нами использовалось медианное сглаживание. В этом подходе для представления значения функции в центральной точке отрезка (по абсциссе) используется медиана распределения значений ординаты на отрезке сглаживания. Медиана гораздо менее, чем среднее, чувствительна к отдельным выбросам. Процедуру сглаживания строили на числе точек, выбирая его нечетным. Параметром является число точек h в одну сторону от центральной точки отрезка. Для вычисления значений у концов кривых никаких специальных приемов не применялось, поэтому h первых и h последних измерений пропадают. На Рис. 3 представлены результаты сглаживания приведенной выше записи с различными значениями параметра h .

Рис. 3. Результаты скользящего медианного сглаживания для разных значений h

При низких значениях h наблюдается остаточный шум, а при высоких теряется много измерений в начале и конце теста. Вся дальнейшая обработка данных производилась со сглаженными записями с параметром h =5 (то есть медиана определяется по 11-ти измерениям).

Аппроксимация кривой потребления кислорода на килограмм массы тела (ОПК)

Нами были опробованы различные варианты аппроксимации кривой потребления кислорода на килограмм массы тела (ОПК):

ОПК = a *время + c (линейная) (1)

ОПК = a * ln ( время ) + b (логарифмическая) (2)

ln (ОПК) = a * ln ( время ) + b (степенная) (3)

Здесь ln – натуральный логарифм, a и b – параметры.

На Рис. 4 представлены результаты аппроксимации методом наименьших квадратов динамики потребления кислорода на килограмм массы тела для спортсмена с n с=25. По оси абсцисс – время [с], по оси ординат – потребление кислорода на килограмм (ОПК, [мл/(мин*кг)]). Для линейной аппроксимации a = 0.043, b = -20.1, R 2 = 0.968 (квадрат коэффициента корреляции), для логарифмической – a = 17.98, b = -68.78, R 2 = 0.981 , для степенной – a = 0.392, b = 1.337, R 2 = 0.996. Близкие к 1 значения R 2 для говорят о том, что эти кривые хорошо приближают эмпирическую зависимость.

Рис. 4. Результаты аппроксимации кривой ОПК

Такие аппроксимирующие кривые были получены для всех 191 спортсмена, находящегося в исследовании. В Табл. 2 представлены распределения R 2 для степенной, логарифмической и степенной аппроксимации.

Табл. 2. Распределения R 2 для различных аппроксимаций

В Табл. 3 приведены результаты сравнения распределений R 2 для разных аппроксимаций с помощью критериев Смирнова и Вилкоксона-Манна-Уитни ( p – вероятность гипотезы о неотличимости распределений).

Табл. 3. Сравнение распределений R 2 для различных аппроксимаций

Более высокие значения R 2 свидетельствуют, что степенная аппроксимация существенно лучше и линейной, и логарифмической, а логарифмическая лучше линейной.

На Рис. 5 и Рис. 6 приведены диаграммы распределения коэффициентов a и b для логарифмической и степенной аппроксимаций . По оси абсцисс отложено значение a , а по оси ординат – b . Каждая точка – пара ( a , b ) – соответствует одному из спортсменов. Непрерывная линия соответствует линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Рис. 5. Распределение параметров a и b для логарифмической аппроксимации

Рис. 6. Распределение параметров a и b для степенной аппроксимации

Как видим, существует достаточно жесткая связь между параметрами a и b и для логарифмической регрессии, и для степенной. Таким образом, двухпараметрические кривые (2) и (3) можно преобразовать в однопараметрические. То есть динамика потребления кислорода на килограмм массы тела для рассмотренных спортсменов качественно происходит по одному и тому же закону и отличается только множителем « a » перед логарифмом (скоростью процесса).

Нами было произведено сравнение распределений значений параметра « a » у спортсменов различных амплуа (защитник, полузащитник, нападающий). На диаграммах Рис. 7 и Рис. 8 представлено распределение « a » у представителей разных амплуа для логарифмической и степенной регрессии (з – защитники, п/з – полузащитники, н – нападающие, в скобках указано число спортсменов, прошедших тестирование), пунктирная линия соответствует межквартильному интервалу, а звездочка – медиане.

Рис. 7. Распределение « a » для различных амплуа (логарифмическая аппроксимация)

Рис. 8. Распределение « a » для различных амплуа (степенная аппроксимация)

В Табл. 4 приведены вероятности гипотезы о неотличимости рассматриваемых классов в соответствии с критериями Вилкоксона-Манна-Уитни ( pw ) и Смирнова ( ps ).

Табл. 4. Сравнение распределений « a » для разных амплуа

Известно, что наибольшую дистанцию пробегают игроки средней линии. Несколько меньшее расстояние в ходе матча преодолевают нападающие. Еще меньшую дистанцию покрывают защитники. Похожая зависимость наблюдается и для приведенных распределений параметра « a ».

Индивидуальный нормативный «коридор»

На Рис. 9 представлена динамика ОПК для двух футболистов (с кодовыми номерами nc =13 и nc =25).

Рис. 9. Динамика ОПК для двух футболистов

Динамика ОПК у обоих футболистов похожа, но, как будто, происходит в разных масштабах. Попробуем привести их к одному масштабу. Принимая динамику ОПК у спортсмена с nc =13 (ОПК13) за «образцовую» сделаем попытку привести к ней динамику ОПК спортсмена с nc =25 (ОПК25). Рассматривая ОПК13 как функцию времени (между соседними измерениями будем считать ее линейной), мы можем для каждого измеренного значения ОПК25 вычислить значение ОПК13 в этот момент времени. Полученные пары значений отложим на диаграмме (Рис. 10). По оси абсцисс – значения ОПК25, а по оси ординат – значения ОПК13. Прямая линия соответствует линейной регрессии.

Рис. 10. Связь ОПК двух футболистов

Как видим, между ОПК25 и ОПК13 существует достаточно жесткая связь ( R 2 =0.997), описываемая формулой:

ОПК13 = 0.686 * ОПК25 + 6.006

Таким образом, мы можем привести ОПК25 к масштабу ОПК13, соответствующую величину назовем приведенным ОПК (ОПКП) и будем вычислять по формуле:

ОПКП25 = 0.686 * ОПК25 +6.006

На Рис. 11 приведена динамика ОПКП для рассматриваемых спортсменов (ОПКП13 совпадает с ОПК13):

Рис. 11. Динамика приведенного ОПК (ОПКП) двух футболистов

Видно, что динамика ОПКП у обоих футболистов действительно очень похожа. Нам удалось этого добиться, приведя к одному масштабу исходную динамику ОПК.

Аналогично мы можем привести динамику ОПК всех спортсменов к масштабу ОПК спортсмена с nc =13, выбор которого был обусловлен максимальным временем тестирования. Параметры распределения R 2 линейных регрессий, проводимых в ходе процедуры приведения к одному масштабу, представлены в Табл. 5.

Табл. 5. Распределение R 2 линейных регрессий

Для ОПК и ОПКП нами были построены скользящие нормативы (с разбиением оси времени на интервалы по 10 с). На Рис. 12 представлено сравнение ширины (которая может определяться как разница между максимумом и минимумом или как межквартильный интервал) нормативного «коридора» для ОПК и ОПКП.

Рис. 12. Сравнение ширины нормативного «коридора» для ОПК и ОПКП

Нормативный «коридор» для ОПКП значительно уже нормативного «коридора» для ОКП, что говорит о том, что по динамике ОПКП тестируемые спортсмены больше похожи друг на друга.

Преобразовывая скользящие нормативы, построенные для ОПКП, преобразованием обратным тому, которым производилось приведение к одному масштабу, для каждого из тестируемых спортсменов получаем свой индивидуальный скользящий норматив ОПК .

Поведение в индивидуальном нормативном «коридоре» в каждый момент времени характеризуется квантилем qu , которому соответствует измеренное значение ОПК. Поскольку значения qu  в нормативных «коридорах» для ОПК и ОПКП совпадают, для удобства мы определяли qu в координатах ОПКП. Для вычисления квантиля qu мы использовали распределение Вейбулла:

, l > 0, a > 0,

параметры которого оценивались с помощью медианы med , нижнего квартиля q 1 и верхнего квартиля q 2 индивидуального нормативного «коридора»:

,

.

Рис. 13. Аппроксимация эмпирического распределения с аппроксимирующим его распределением Вейбулла

Рис. 14. Связь эмпирического распределения и аппроксимирующего его распределения Вейбулла

На Рис. 13 представлены эмпирическое распределение ( F ) значений ОПКП для всех 133 спортсменов во временном интервале с 700-710с и аппроксимирующее его распределение Вейбулла (F_weib). На Рис. 14 приведена связь F и F_weib, прямая линия соответствует линейной регрессии. Как видим, распределение Вейбулла достаточно хорошо аппроксимирует эмпирическое распределение.

Динамика qu для спортсмена с nc =25 представлена на Рис. 15.

Рис. 15. Пример динамики qu

На Рис. 16 приведена динамика qu после медианного сглаживания по 11-ти точкам (по 5 крайних точек пропадают).

Рис. 16. Пример динамики qu (медианное сглаживание по 11-ти точкам)

На этом графике уже наблюдаются тенденции изменения qu : снижение в середине теста, затем заметный рост и снова снижение в самом конце. Значительно лучше эти медленные тенденции видны на Рис. 17 после медианного сглаживания по 41 точке (по 20 крайних точек пропадают).

Рис. 17. Пример динамики qu (медианное сглаживание по 41 точке)

Если принять за индивидуальный норматив динамику потребления кислорода, соответствующую медиане значений qu за весь тест (в рассматриваемом примере медиана qu равна 0.446, что соответствует горизонтальной прямой на Рис. 17), то значения qu , близкие к 1, могут быть интерпретированы как опережение индивидуальной нормативной динамики потребления кислорода, а близкие к 0 – как отставание от нее.

Видно, что за время тестирования значения qu не остаются постоянными, а достаточно сильно меняются. Характер этих изменений (т.е. динамика qu ) может быть связан с индивидуальными особенностями организма спортсмена. Таким образом, построение простого и адекватного языка для описания динамики qu представляет собой важную задачу, решение которой может помочь выделить те факторы, которые определяют адаптацию спортсмена к высокой физической нагрузке в ходе прохождения тестирования.

Авторы считают, что проведение дальнейших исследований позволит разработать качественно новые методики индивидуальной оценки работоспособности как спортсменов так и представителей других специальностей, работающих с предельными физическими нагрузками.

Литература

• Stolen T., Chamari K., Castagna C., Wisloff U. Physiology of soccer. An update. Sports Med., 35 (6); 501-536
• Карпман В.Л., Белоцерковский З.Б., Гудков И.А. Тестирование в спортивной медицине. М.: Физкультура и спорт, 1988
• К . Wasserman, Hansen J.E., Sue D.Y. et al. Exercise testing and interpretation // Lippincott Williams&Wilkins, 2005
• Котов Ю.Б. “Новые математические подходы к задачам медицинской диагностики”, Москва, УРСС, 2004
• Стентон Гланц “Медико-биологическая статистика”, перевод с английского, Москва, Практика, 1999
• Гусев А.В., Котов Ю.Б., Орджоникидзе З.Г., Павлов И.В., Эсселевич И.А. Исследование динамики высоких физических нагрузок с помощью методов компьютерного тестировния и методов математического моделирования. Информационные технологии и вычислительные системы, №1,2007, с.49-55.