Первоначально понимание сложных систем (например таких, как биологические) было связано с представлением о том, что их невозможно описать при помощи математических моделей. Более того, долгое время жизнь рассматривалась как антипод неорганической природы. Сегодня, однако, происходит все более активное проникновение физических методов и подходов в биологию. Оказывается также, что основные формы кооперативного поведения, свойственные живым организмам, имеют свои аналоги среди неорганических систем.

Любой живой организм представляет собой иерархию достаточно автономных подсистем, в которой исходящие от верхнего уровня снгналы управления не имеют характера жестких команд, подчиняющих себе активность всех индивидуальных элементов более низких уровней. Вместо этого от высших уровней иерархии поступают сигналы, которые предопределяют переходы подсистем из одного режима функционирования к другому. Иерархическое устройство сложных живых систем, которые представляют собой ансамбль связанных подсистем более простого строения, позволяет избежать неустойчивостей и нежелательной динамики, которые неизбежно возникают в сложных системах с жестким централизованным управлением.

Наиболее очевидная особенность биологических систем заключается в том, что они способны к самоорганизации, т. е. спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных структур. Это не противоречит законам термодинамики, поскольку все живые биологические системы не являются замкнутыми и обмениваются энергией с окружающей средой. Энтропия, служащая мерой беспорядка, может уменьшаться в открытых системах с течением времени.

Необходимая предпосылка эффектов самоорганизации заключается, кроме того, в наличии потока энергии, поступающего в систему от внешнего источника и диссипируемого ею. Именно благодаря этому потоку система становится активной, т. е. приобретает способность к автономному образованию структур. Очевидно, что эффекты самоорганизации не могут быть исключительным свойством биологических объектов, и должны наблюдаться в той или иной форме также в системах неорганического происхождения.

Большой интерес представляют распределенные среды, которые построены из дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом и, таким образом, являющихся приближением естественных пространственно протяженных систем. Хотя разнообразие таких сред чрезвычайно велико, число математических моделей, которые используются для описания процессов образования и развития структур в таких системах, не столь значительно. По–видимому, даже когда отдельные элементы системы (например, живые клетки) обладают сложной внутренней структурой, вся их сложность не проявляется во взаимодействиях между ними, и с точки зрения макросистемы они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы. В противном случае никаких упорядоченных структур в системе обычно не возникает.

Задача нелинейной динамики и синергетики состоит в нахождении и подробном исследовании тех базовых математических моделей, которые исходят из наиболее типичных предположений о свойствах отдельных элементов, составляющих систему, и законах взаимодействия между ними. Поскольку главным отличительным свойством изучаемых сред являются протекающие в них процессы самоорганизации, синергетику можно также рассматривать как общую теорию самоорганизации в средах различной природы. Термин «синергетика» (от греч. synergeia — совместное действие, сотрудничество) был предложен в начале 70–х годов немецким физиком Г. Хакеном.

Самоорганизация тесно связана с зарождением турбулентности. При макроскопическом течении жидкости к каждому ее малому элементу поступает энергия от крупномасштабных мод, которая превращается затем в теплоту за счет действия вязких сил. Чем выше средняя скорость течения жидкости, тем интенсивнее поток энергии, проходящей через каждый ее элемент. Как известно, при больших средних скоростях течения оно, как правило, является турбулентным, т. е. характеризуется хаотическими пульсациями поля скоростей, давления, температуры, плотности и т. п. Переход к турбулентности от ламинарного течения может осуществляться постепенно, не скачком. В этом случае возникновению турбулентности предшествует особая стадия, характеризующаяся появлением все более сложного течения.

2. Динамический хаос

Где лежит граница между регулярной, но сложно организованной структурой и хаосом? Критерием может служить устойчивость возникающих в процессе течения образований по отношению к малым возмущениям. Если такая устойчивость отсутствует, детерминированное описание теряет смысл, и необходимо использовать статистические методы. Впервые на связь между статистическим подходом и неустойчивостью указывал еще Анри Пуанкаре.

Из сказанного ясно, что теоретический анализ процессов хаотизации (зарождения турбулентности) в различных средах также должен быть включен в круг проблем, изучаемых синергетикой. Естественно отнести к ним и исследование общих свойств хаотических режимов, возникающих вслед за разрушением регулярных структур.

Как же возникает хаотическое движение? Казалось бы, путей его возникновения должно быть очень много. Однако, выяснилось, что число сценариев процесса хаотизации совсем невелико. Более того, некоторые из них подчиняются универсальным закономерностям, и не зависят (!) от природы системы. Одни и те же пути развития хаоса присуши самым разнообразным физическим, химическим, биологическим и др. объектам. Универсальное поведение напоминает обычные фазовые переходы второго рода, а введение ренормгрупповых и скейлинговых методов, известных в статистической механике, открывает новые перспективы в изучении хаотической динамики.

В течение долгого времени представление о хаотических колебаниях ассоциировалось с допущением, что в системе необходимо возбуждение по крайней мере чрезвычайно большого числа степеней свободы. Эта концепция, по–видимому, сформировалась под действием понятий, сложившихся в статистической механике: в газе движение каждой отдельной частицы в принципе предсказуемо, но поведение системы из очень большого числа частиц чрезвычайно сложно, и поэтому детализированное динамическое описание теряет всякий смысл. Отсюда — потребность в статистическом описании. Однако, как показали многочисленные исследования, статистические законы, а вместе с ними и статистическое описание не ограничены только очень сложными системами с большим числом степеней свободы. Дело здесь не в сложности исследуемой системы и не внешних шумах, а в появлении при некоторых значениях параметров экспоненциальной неустойчивости движения.

Какие же законы управляют хаосом? Возможно ли создать математический аппарат, позволяющий непротиворечиво описывать хаотическую динамику и предсказывать появление хаоса в тех или иных системах? Наконец, можно ли найти методы предсказания поведения хаотических систем? Ответами на эти и ряд других вопросов занимается так называемая «теория динамического (или детерминированного) хаоса», являющаяся одним из разделов нелинейной динамики. К настоящему времени разработаны методы классификации различных типов хаоса, найдены закономерности его развития, созданы методы, позволяющие отличить, например в эксперименте, хаос от белого шума, и т. п. Более того, было обнаружено и строго обосновано, что сложное пространственно–временное поведение распределенных сред с громадным числом степеней свободы может быть адекватно описано нелинейными системами небольшой размерности.

Физически осмысленное понятие детерминированного описания заключается в том, что начальное состояние процесса задается в силу неизбежных флюктуаций некоторым вероятностным распределением. Задача состоит в том, чтобы на основании известного начального распределения предсказать его эволюцию. Если малые возмущения начального условия с течением времени не нарастают (т. е. имеет место устойчивость), то поведение такой системы является предсказуемым. В противном случае процесс может быть описан только вероятностным образом. По существу именно эти соображения легли в основу современного представления о динамическом хаосе.

Как известно, математическим образом установившихся периодических колебаний является предельный цикл, а квазипериодических — инвариантный тор. И устойчивые циклы, и инвариантные торы являются аттракторами (буквально — «притягателями»), поскольку в прямом смысле они притягивает все близкие траектории. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний (вследствие каких–либо воздействий) система спустя некоторое время вновь возвращается к ним, т. е. такое движение как бы притягивает. Простым примером здесь может служить обычный часовой маятник.

Если диссипативная система проявляет хаотические свойства, то математически это соответствует наличию в ее фазовом пространстве странного (иногда говорят хаотического) аттрактора. Данное понятие впервые было введено в известной работе Д. Рюэля и Ф. Такенса «О природе турбулентности» в 1971 г. и означало притягивающее множество, отличное от конечного объединения гладких подмногообразий. Появление такого подмножества в системах дифференциальных уравнений тогда казалось экзотикой, отсюда и название — странные аттракторы.

3. Бильярды

Впервые концепция динамического (детерминированного) хаоса получила строгое обоснование на простейшей модели статистической механики — бильярде. Понятие бильярда в теоретической и математической физике возникло после того, как Д. Биркгоф рассмотрел задачу о движении по инерции материальной точки в некоторой ограниченной области. Позже глубокие работы Н.С. Крылова, посвященные проблеме перемешивания в системе из упругих шаров, привели исследователей к необходимости рассмотрения задач бильярдного типа.

Как теперь известно, бильярды являются очень удобными моделями ряда систем статистической механики. Более того, многим динамическим задачам могут быть поставлены в соответствие уравнения траектории частицы в бильярдах заданной формы. В свою очередь, изучение свойств некоторых бильярдов оказывается важным для ряда задач теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Бильярд на плоскости — это система, отвечающая движению по инерции материальных тел (шаров) внутри ограниченной области по закону «угол падения равен углу отражения». По существу, математический плоский бильярд представляет собой обычный бильярд, только с произвольной конфигурацией стола и без луз. Было показано, что система уже из двух (!) шаров, в зависимости от формы границы, может обладать свойством хаотичности. Тем самым была решена задача об экспоненциальной неустойчивости (и как следствие — непредсказуемости) траекторий системы упругих шариков. В дальнейшем были изучены различные модификации бильярдных систем и исследованы их статистические свойства. Более того, на основе анализа бильярдов был получен результат о сходимости к броуновскому движению поведения чисто детерминированной системы, что явилось первым строгим подтверждением рождения хаоса в динамических системах.

Естественным обобщением бильярдных систем являются бильярды, границы которых не являются неподвижными, а изменяются по какому–либо закону. Это совершенно новая область математической физики, открывающая новые перспективы в исследовании многих давно известных, но малоизученных проблем. Например, задача о динамике частицы в бильярде, граница которого со временем изменяется, имеет прямое физическое приложение как модель неравновесной статистической механики. Рассмотрим некоторую область в евклидовом пространстве. Допустим, что в этой области находятся определенным образом расположенные непересекающиеся шары (назовем их рассеивателями). При условии, что шары неподвижны, такая система, очевидно, будет бильярдной. Она носит название газ Лоренца. Газ Лоренца был введен в связи с проблемой описания движения электронов в металлах. Для периодического расположения рассеивателей было показано, что в двумерном случае движение частицы является случайным и сводится к броуновскому. Более того, в такой системе существует и положителен коэффициент диффузии. В реальной ситуации рассеива тели всегда «дрожат» с небольшой амплитудой. Таким образом, обобщением газа Лоренца является бильярд с изменяющейся границей.

Для бильярда с возмущенными границами существенным оказываются его динамические свойства: если он проявляет хаотическую динамику, то возмущение границы может привести к неограниченному росту скорости частицы. С другой стороны, бильярд с достаточно гладкой границей не хаотичен, и ее колебания не приводят к бесконечному разгону бильярдной частицы.

4. Управление хаотическими системами и подавление хаоса

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к ряду важнейших открытий. Обоснование эргодической гипотезы Больцмана для определенного класса систем, доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера), введение энтропии Колмогорова, подковы Смейла и У–систем Аносова стимулировало развитие новых направлений современной математики и математической физики, отражающих всю глубину проблем, рассматриваемых в нелинейной динамике. В результате было показано, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то, возможно, лишь потому, что либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Таким образом, проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики), стала общей для многих направлений современной науки.

В связи с этим в последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса. Исследования показали, что оно имеет непосредственное отношение ко многим областям естественных наук, поскольку на этом пути удается найти подходы к таким важным и насущным приложениям как обработка (запись, кодирование и расшифровка) информации, скрытая связь (т. е. пересылка зашифрованных сообщений), проблема самоорганизации, стабилизация неупорядоченных сокращений сердечной мышцы и дефибрилляция, искусственное создание когерентных структур в распределенных системах, обладающих пространственно–временным хаосом, инженерия динамических систем, и других. Понятно, что решение даже части этих проблем, с одной стороны, в значительной степени углубляет понимание процессов и закономерностей, лежащих в основе поведения самых разнообразных нелинейных динамических систем и, с другой стороны, позволяет значительно продвинуться в развитии теории нелинейных колебаний как сосредоточенных так и распределенных систем.

Интенсивные теоретические и экспериментальные исследования хаотических динамических систем выявили их неожиданное и вместе с тем замечательное свойство: они являются весьма податливыми и чрезвычайно чувствительными к внешним воздействиям. По–видимому, именно это обстоятельство лежит в основе процессов структурообразования в живых тканях. Развитие любого живого организма есть последовательность автономных актов самоорганизации. Благодаря этому развивающаяся структура характеризуется возможностью перейти в одно из очень большого числа допустимых равноправных состояний. Тем не менее, эволюционирующая система всегда проявляет только определенную (заданную) динамику. Управление этим процессом может осуществляться с помощью слабых воздействий, которые и влияют на выбор того или иного конкретного состояния. Таким образом, была обнаружена возможность управлять динамикой хаотических систем, т. е. посредством достаточно слабых воздействий переводить первоначально хаотические системы из режима хаотических колебаний на требуемый динамический режим и тем самым стабилизировать их поведение.

Стабилизация хаотического поведения может быть осуществлена двумя различными способами. Первый из них обеспечивает выведение системы из хаотического на регулярный режим посредством внешних возмущений, реализованных без обратной связи. Другими словами, этот метод не учитывает текущее состояние динамических переменных системы. Качественно отличный от данного метод реализуется посредством корректирующего воздействия в соответствии с требуемым значением динамических переменных и, таким образом, вовлекает обратную связь как необходимую компоненту динамической системы. По установившемуся соглашению первый способ стабилизации хаотической динамики называется подавлением хаоса или контролированием (иногда управлением или регулированием) хаотической динамики без обратной связи. Второй способ носит название контролирование хаоса с обратной связью (controlling chaos). В свою очередь, реализация каждого из этих методов может быть проведена параметрическим или силовым способами.

Развитие этих методов, а также знание закономерностей самоорганизации дает возможность в самом прямом смысле вмешиваться в деятельность существующих биосистем и управлять их динамикой (см. ниже).

5. Подавление хаоса и сердечная аритмия

Сердечная мышца (как и любая другая мышечная ткань) относится к так называемым возбудимым системам. Распространение волн в таких системах осуществляется посредством источника энергии, распределенного в ней. При подаче импульса в такую систему от места его приложения начинает распространяться возмущение — волна возбуждения: поступивший импульс не затухая последовательно передается от элемента к элементу. Обычно после возбуждения каждый элемент не способен сразу же возбудиться вновь. Как правило, существует определенное «время релаксации», называемое периодом рефрактерности, во время которого элемент как бы восстанавливается. Это приводит, с одной стороны, к упорядоченному пространственному распространению волны возбуждения, а с другой стороны, при частой подаче импульсов (или при большом периоде рефрактерности) часть из них окажется блокированной.

При описании ряда возбудимых сред часто прибегают к аппроксимации исходной системы совокупностью отдельных возбудимых элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Каждый такой элемент способен находиться в одном из трех состояний — покоя, возбуждения и рефрактерности. Из состояния покоя элемент может перейти в возбужденное состояние, в котором будет находиться определенное время. Затем он переходит в состояние рефрактерности и только потом вновь в состояние покоя. Таким образом, переход в возбужденное состояние оказывается возможным лишь из состояния покоя. Хотя такая модель является определенным приближением, она очень хорошо воспроизводит основные явления в возбудимых средах, в том числе и в тканях сердца.

Предположим, что имеется однородная возбудимая среда, в которой все элементы обладают идентичными свойствами. Тогда частота возбуждения всех таких элементов будет одинаковой. Если некоторую область такой среды начать периодически возмущать, то в этой области возникнет источник концентрически расходящихся волн возбуждения. Такой источник называют ведущим центром или пейсмекером. Если в возбудимой среде есть два или несколько пейсмекеров, то пейсмекер меньшей частоты генерации с течением времени подавляется пейсмекером большей частоты. Иными словами, имеет место конкуренция между пейсмекерами. В идеальном случае через определенное время во всей среде останется только один пейсмекер. Кроме пейсмекеров, в возбудимых средах возможно появление иных источников возбуждения — спиральных волн, которые представляют собой «вращающиеся» спирали. Все спиральные волны имеют одинаковую частоту. Поэтому они всегда сосуществуют между собой, но гасят ведущий центр, являющийся более медленным автоволновым источником. Кроме того, спиральные волны представляют собой главный тип элементарных самоподдерживающихся структур в однородных возбудимых средах.

Появление нескольких источников возбуждения в сердечной мышце в настоящее время связывается с опасными нарушениями нормальной работы сердца — аритмией. При большом числе аномальных источников наступает фибрилляция.

Допустим, что в некоторой среде имеются только основной и дополнительные ведущие центры. Тогда даже такая простая ситуация в зависимости от частоты поступления импульсов и времени рефрактерности может привести к очень сложному поведению среды. В частности, может наблюдаться квазипериодическая и хаотическая динамика. Таким образом, возникновение только одного паразитного пейсмекера для возбудимой системы способно привести ее к спонтанному поведению.

Много более опасное нарушение сердечного ритма — фибрилляция — обусловлено появлением множества небольших волн в сердечной ткани. Этот процесс может развиваться вследствие нескольких причин. Одна из них заключается в появлении периодической стимуляции участков миокарда. В этом случае фибрилляции возникают после прекращения стимуляции в среде с переменным рефрактерным периодом. Если же по тем или иным причинам в сердце поступил импульс в критической фазе (во время рефрактерного периода желудочков), то он сгенерирует волну, пересекающую зону рефрактерности. Тогда концы волны возбуждения могут закручиваться, давая начало спиральным волнам, вращающимся в противоположных направлениях.

Современные методы выведения сердца из состояния фибрилляции являются очень жесткими. Развитие нелинейной динамики и синергетики позволило понять, что такое силовое воздействие вовсе необязательно. Часто вполне достаточно слабых электрических воздействий непосредственно на сердечную мышцу. Именно, если в среде имеются спиральные волны с противоположными направлениями вращения, то, подбирая фазу и частоту внешнего воздействия, можно добиться движения центров двух волн навстречу друг другу и их аннигиляции. Теперь слово за тщательными экспериментальными исследованиями.

6. Динамические системы и проблема обработки информации

Знания основных закономерностей поведения хаотических сред позволяют перейти к целенаправленному конструированию искусственных систем, процессы самоорганизации в которых приводили бы к образованию нужных структур. Пока в этом направлении предпринимаются лишь самые первые шаги. Наиболее развитым приложением является создание устройств обработки информации на основе применения хаотических систем. Действие таких устройств базируется на использовании естественной «внутренней» структуры системы и управлении притоком энергии, т. е. фактически на том же принципе, который положен в основу контролирования хаотических систем. Это дает возможность при относительно малых энергетических затратах создать устройства принципиально нового типа, способные запоминать, шифровать и обрабатывать заданную информацию.

Более того, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что автоколебания (в том числе хаос) играют важную роль в процессе анализа информации нейроподобными системами. Следовательно, принцип организации памяти необходимо представить как динамический процесс. Такой подход привел к использованию теории динамических систем в проблеме обработки информации и создания систем искусственного интеллекта. Он основан на том факте, что хаотические множества, как правило, содержат бесконечное подмножество седловых (т. е. неустойчивых) предельных циклов. Имеющиеся в настоящее время методы позволяют, в принципе, либо их стабилизировать, либо создать новые циклы, которые не существовали в исходной хаотической системе. Это и является ключом к решению проблемы обработки информации и организации динамической памяти на основе использования диссипативных систем с подавленным хаосом.

Рассмотрим динамическую систему, обладающую хаотическим аттрактором, который рождается тем или иным путем. Тогда в такой системе предельные циклы будут неустойчивыми (седловыми), но они не исчезнут. Допустим, что каждый из циклов соответствует определенному элементу алфавита. Поскольку в типичном случае в хаотическом аттракторе сосуществует неограниченное число неустойчивых циклов, то, в принципе, таким способом может быть закодировано неограниченное число слов. Иными словами, теоретически можно создать память неограниченной емкости. На практике, однако, всегда имеется шум, который делает циклы больших периодов недостижимыми. Следовательно, если значения параметров динамической системы удовлетворяют условию существования хаотического аттрактора, то информация будет скрыта, поскольку неустойчивые циклы практически ненаблюдаемы. Теперь, если возмутить определенным образом систему и стабилизировать нужный цикл, то можно извлечь закодированную информацию. Тот же результат можно получить, если путем слабых возмущений создавать устойчивые циклы, ранее не существовавшие в хаотической системе.

В приложениях важно не только уметь записывать и считывать информацию, но и передавать ее, причем часто в зашифрованном виде. Применение динамических систем позволяет решить эту проблему несколькими способами. Часть из них базируется на использовании неустойчивых циклов хаотических систем. Другие основаны на приложении методов символической динамики и стабилизации таких циклов посредством внешних возмущений.

Таким образом, развитие теории динамических систем дает возможность по–новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

7. Временные ряды

Наиболее интригующим и заманчивым приложением теории нелинейных систем является прогнозирование динамики порождаемых ими временных рядов. Как известно, большинство систем (природных, таких, например, как атмосфера, или искусственных, таких, например, как биржа), в силу их сложности, не могут быть смоделированы с достаточной точностью. Однако их описание может быть выполнено посредством иного подхода, основанного на наблюдении за их поведением. Наблюдаемая (сигнал, реализация) — это функция от времени, по которой судят о процессе в исследуемой системе. Иными словами, наблюдаемая — это временной ряд.

Например, для атмосферы в качестве наблюдаемой может выступать, скажем, изменение температуры, для биржи — ежедневный курс ценных бумаг и т. п. Если такую наблюдаемую определенным образом обработать, то при некоторых условиях возможно с большой точностью произвести оценку будущего значения временного ряда, причем эта оценка представляет собой функцию только (!) от предыдущих значений ряда. Следовательно, на основе одних лишь наблюдений за системой, возможно предсказать ее поведение в будущем. Более того, при прогнозировании не делается различий между природой системы. Это может быть курс доллара, сейсмозапись или динамика солнечной активности. При этом оказывается, что методы теории вероятности зачастую работают хуже, чем методы теории динамических систем.

При каких условиях могут быть динамически смоделированы некоторые временные ряды и успешно осуществлено их прогнозирование? Для ответа на этот вопрос проследим за изменением наблюдаемой со временем. Тогда получим некоторую функцию. Если измерения производились в фиксированные моменты времени, то эта функция примет дискретный ряд значений. Когда исследуемая система — детерминированная (или динамическая, т. е. описывается конечным набором обыкновенных дифференциальных уравнений), — то наблюдаемая всегда будет функцией от ее фазовой точки. Однако, как правило, заранее неизвестно, возможно ли описать данный процесс динамически. Тем не менее, в рамках современной теории размерности и теории динамических систем можно, в принципе, отличить шум (случайный процесс) от детерминированного поведения и тем самым установить конечномерность рассматриваемого явления.

Таким образом становится возможным не только описывать поведение исследуемого временного ряда, но и прогнозировать его динамику. Следовательно, по единственной наблюдаемой, в принципе, удается восстановить многие свойства динамической системы и получить представление о ее свойствах.

8. Динамическое моделирование финансовых временных рядов

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории динамических систем. Это достаточно новая область, которая представляет собой популярный и активно развивающийся раздел математических методов экономики. Развитие теории в этом направлении дает возможность выявить существо глубинных экономических процессов, зачастую скрытых и неявных, и позволяет перевести субъективные и интуитивные суждения на строгий язык цифр и фактов. Кроме того, анализ экономических временных рядов предоставляет возможность с определенной степенью точности заглянуть в будущее, т. е. осуществить прогнозирование развития ситуации. При этом отдельно встает вопрос о точности такого прогноза.

Финансовый временной ряд — это последовательность, описывающая поведение определенного рыночного процесса, например, курс ценных бумаг или соотношение валют. В ряде работ был проведен анализ некоторых финансовых рядов и показано, что многие из них имеют конечную емкость. Таким образом, эти ряды могут быть описаны обыкновенным дифференциальным уравнением конечного порядка. Вообще говоря, при некоторых условиях это уравнение дает возможность прогнозировать динамику временного ряда, однако для этого сначала нужно восстановить его правую часть. В некоторых работах проводились оценки длины временного ряда, необходимой для такого восстановления. Эти оценки показывают, что в большинстве случаев имеющихся данных недостаточно для определения правой части уравнения.

Для решения этой проблемы можно предложить два интересных недавно разработанных подхода. Первый подход связан с использованием данных о процессе формирования цен финансовых активов. Эти данные, в основном, сконцентрированы в самостоятельном разделе экономической теории, называемом теорией финансов. Использование моделей этой теории может оказаться полезным при определении вида уравнений с точностью до конечного числа параметров. В свою очередь, определение параметров может быть произведено на основании оптимального приближения решения этих уравнений к имеющимся данным. При этом получается, что длина временных рядов, необходимая для определения параметров, может быть на порядки меньше, чем для решения исходной непараметрической задачи.

Далее, эмпирические наблюдения за финансовыми временными рядами позволяют подметить следующие особенности: (1) зачастую курс акций колеблется в ограниченном интервале между так называемыми уровнями поддержки и сопротивления. Такое поведение иногда называют гомодинамическим, то есть соответствующим практически неизменному закону движения; (2) время от времени курс акций «пробивает» эти уровни и после переходного процесса выходит на другой гомодинамический участок. Интерпретация этих особенностей с точки зрения теории динамических систем составляет суть второго подхода.

Развитие этих подходов показывает принципиальную возможность провести реконструкцию правой части дифференциального уравнений на основе общих соображений без использования длинных рядов наблюдений. Однако для их разработки используются достаточно жесткие предпосылки. Тем нс менее, ряд обобщений, используемых в нелинейной динамике, позволяет перейти к практическому прогнозированию на финансовых рынках, причем в некоторых случаях такое прогнозирование может быть достаточно просто реализовано. Например, гипотеза о гомодинамичности траекторий имеет под собой реальную почву для многих финансовых рядов.

Здесь представлены лишь два (достаточно эффективных) подхода. Однако, естественно, решение проблемы описания финансовых рядов ими не исчерпывается. Например, среди зарубежных исследователей весьма популярным подходом для анализа финансовых временных рядов является идея использования концепции так называемой авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH, авторегрессионность — зависимость от предшествующих значений ряда, условность — дисперсия рассчитывается при условии, что предшествующие значения ряда известны, гетероскедастичность — изменение дисперсии во времени). Она состоит в том, что изменение дисперсии определяется не внешними факторами, а внутренними параметрами и предысторией системы, в частности, реализованными в предыдущие моменты времени значениями временного ряда. Проверка концепции ARCH показала ее богатые возможности при объяснении статистических особенностей временных рядов, возникающих на валютных и иных финансовых рынках.

Таким образом, теоретические исследования, основанные на анализе временных рядов, в том числе и финансовых, могут дать мощный инструмент для моделирования многих явлений, особенно когда имеющихся данных недостаточно для построений модели другим способом (например, из исследования физической картины явления).

9. Фрактальные множества

К синергетике и теории неравновесных систем относится и другая область нелинейной физики — фракталы. Фракталами обычно называют множества, которые обладают масштабной инвариантностью, т. е. в любом масштабе они выглядят практически одинаково. Самый известный пример фрактала — множество Кантора на прямой. Термин «фрактал» был введен известным математиком Бенуа Мандельбротом и означал множество, размерность которого не совпадала с обычной.

Теория фракталов долгое время не находила широкого применения, пока не было обнаружено большое число задач, где фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. Например, в турбулентности теория фракталов теснейшим образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Если рассмотреть скорость турбулентного потока как функцию пространственных переменных и времени, то она будет представлять собой фрактал того же типа, что и броуновская кривая.

В теории динамических систем фрактальные множества занимают особое место, поскольку решения большинства нелинейных задач представляют собой фрактал. Дело в том, что математическим образом хаотических колебаний в диссипативных системах является аттрактор, который уже не обладает такой же гладкой структурой, как, например, тор. Геометрическое строение странных аттракторов более сложное. В частности, они могут обладать геометрической (масштабной) инвариантностью, т. е., подобно фрактальному множеству, их структура повторяется при последовательном увеличении масштаба. Это свойство странных аттракторов иногда позволяет описывать их аналогично тому, как описываются фракталы.

У фрактальной теории много точек соприкосновения с методом ренорм–группы и теорией фазовых переходов. В финансовой математике многое можно описать, используя фрактальный подход. Неожиданно важные приложения теории фрактальных множеств были выявлены в достаточно новых областях современной науки — теоретической биологии и математической медицине. Здесь многое удалось понять, опираясь на масштабную инвариантность. Наконец, фрактальные множества интересны с точки зрения создания моста между математикой и искусством.

Основной геометрической характеристикой фракталов является их размерность, которая указывает на близость таких множеств к регулярным объектам и позволяет определить число независимых переменных, однозначно их описывающих. Неожиданным обстоятельством является то, что фрактальные структуры встречаются в природе и рождаются в физических экспериментах. Один из таких экспериментов — результат осаждения на электроде ионов металла, диффундирующих в электролитическом растворе.

Как можно описать рождение таких сложных объектов, как фракталы? Один из механизмов — это аггрегация, ограниченная диффузией (diffusion limited aggregation, далее — DLA). Согласно этому механизму, определенная разновидность фракталов может быть получена в процессе неупорядоченного необратимого роста. Представим себе объект (кластер), растущий следующим образом: с течением времени к нему присоединяется молекула, причем когда эта молекула приходит в соприкосновение с кластером, она сразу же прилипает к нему. Такой процесс называется аггрегацией. Допустим теперь, что частицы (молекулы) диффундируют к растущему кластеру абсолютно случайным образом (т. е. по броуновскому закону). Аггрегация частиц, протекающая в условиях случайного движения, — это и есть DLA. Такой процесс является крайне неравновесным. Тем не менее в качественном отношении с помощью него можно легко объяснить некоторые свойства роста фрактальных структур.

В реальной ситуации зародыш будет двигаться по какому–либо закону. Как изменится структура растущего фрактального множества в этом случае? Развитие этой задачи даст возможность ответить на вопросы, связанные со структурообразованием в неравновесных системах и создать условия, в которых будут формироваться кластеры с заданными свойствами и размерностью.

10. Когерентные структуры в хаотических средах

Почему для некоторых нелинейных сред сложное пространственно–временное состояние является более предпочтительным чем простое однородное поведение (т. е. когда из практически однородной система как бы «самопроизвольно» переходит в пространственно неоднородную), и каким образом такое состояние может реализоваться? Это один из давно известных и волнующих вопросов, восходящий к проблеме уменьшения энтропии в живых системах. До сих пор на него не получено исчерпывающего ответа. С позиции теории нелинейных неравновесных систем можно неожиданно просто подойти к решению этого вопроса.

Допустим, что рассматривается изначально распределенная среда, аппроксимируемая решеткой сцепленных элементов, ее составляющих. Приближение распределенной среды совокупностью (сетью) сцепленных подсистем (например, отображений) — достаточно распространенный и эффективный метод изучения.

При исследовании таких сетей естественным образом возникают следующие вопросы. Какой может быть динамика некоторого элемента, выделенного из сети, и динамика всей решетки в целом? Если поведение отдельных ее элементов является хаотическим, будет ли решетка также проявлять хаотические свойства? Хаос подавит окружающий порядок или же порядок в отдельных элементах распространится на всю сеть? Наконец, может ли в первоначально пространственно однородной решетке образоваться определенная структура, т. е. произойти кластеризация решетки?

Естественно, большинство систем являются открытыми: в них происходит обмен энергией с окружающей средой. Поэтому предположим, что решетка подвержена внешнему воздействию, т. е. каждый ее элемент испытывает определенное влияние. В этом случае, при определенном значении коэффициента диффузии сети заданная пространственная картина будет сохраняться. Однако с ростом диффузии происходит качественная перестройка: пространственный порядок начинает искажаться, в системе появляются случайным образом разбросанные элементы как с регулярной, так и с хаотической динамикой. С дальнейшим увеличением диффузии поведение распределенной системы в целом становится хаотическим. И всегда порядок поглощается хаосом. Таким образом, основной результат исследования заключается в следующем. Если допустить, что происходит обмен энергией между распределенной системой и окружающей средой, то под действием поступающей энергии в системе могут формироваться пространственные кластеры, состоящие из одинаковым образом функционирующих подсистем (отображений). Иными словами, в открытой системе появляются устойчивые пространственно–временные структуры. Однако они могут существовать в достаточно узком диапазоне значений коэффициентов диффузии: если их значения ниже критических, имеется абсолютный порядок, если выше — полный хаос.

Надо сказать, что подобные работы являются совсем новыми. Здесь многое еще не ясно, остаются открытыми вопросы о качественных и количественных методах исследования. Кроме того, пока не затронуты вопросы о возможных стационарных состояниях сред в области регулярности, о волновых движениях по ним и влиянии на них дефектов, о динамике сред с параметрами, зависящими от времени и т. п. Однако развитие теории нелинейных систем в ближайшем будущем на некоторые из этих вопросов будут получены ответы.

11. Динамика колебательных химических реакций

К теории неравновесных сред тесно примыкает не менее интересная область исследований нелинейной динамики, изучающая колебательные химические реакции. В настоящее время ряд результатов теории динамических систем достаточно эффективно используются в химической кинетике. В частности, многие из колебательных химических реакций впервые нашли объяснение в рамках качественной теории дифференциальных уравнений.

Любая химическая реакция достаточно сложна. Ее стехиометрическое уравнение, как правило, не учитывает всю сложность элементарных процессов. Это уравнение выявляет природу реагирующих веществ и определяет общее число реагирующих молей, но не учитывает промежуточных компонент, появляющихся в ходе реакции (ионов, свободных радикалов и т. д.) на каждой ее элементарной стадии. Совокупность элементарных стадий, вовлеченных в суммарную реакцию, называется механизмом реакции. Используя закон действия масс и зная константы скоростей, можно описать реакцию динамически, т. е. составить соответствующую систему дифференциальных уравнений.

Химические системы диссипативны, и поэтому они не могут пребывать в каком–либо динамическом режиме: спустя некоторое время большинство химических реакций приходит в равновесие. Однако имеются исключения из этого правила (реакции Белоусова–Жаботинского, Бриггса–Раушера, Брея–Либавски, и некоторые другие), когда до образования конечных продуктов концентрации промежуточных соединений периодически изменяются с течением времени. В зависимости от концентраций реагентов (т. е., в сущности, параметров соответствующей системы дифференциальных уравнений), реакционная смесь может проявлять самые разнообразные режимы поведения: периодические, сложно периодические, квазипериодические и хаотические.

Хотя в настоящее время многое в таких реакциях уже понято, причины, вызывающие колебательные химические процессы, остаются до конца не выясненными. Динамическое описание колебательных химических реакций может оказать в этом существенную помощь, в частности, косвенным путем установить недостающие константы скоростей реакций. Кроме того, возможность стабилизации хаотических химических процессов в распределенных средах позволит подойти к исследованию явления резонансов спиральных волн с точки зрения теории динамических систем.

12. Теория бифуркаций

Развитие нелинейной динамики и теории динамических систем стимулировало большой интерес к теории бифуркаций. Это связано с тем, что все системы обыкновенных дифференциальных уравнений одинаковой размерности вблизи значений параметров, при которых в них имеет место бифуркация одного типа, являются топологически эквивалентными. Следовательно, описав бифуркацию и определив ее тип, легко судить о том, какое поведение проявят системы в окрестности бифуркационного значения параметра. Помимо широко известных типов бифуркаций, таких как бифуркация Андронова–Хопфа, бифуркация рождения тора, бифуркация удвоения периода и т. п., достаточно часто встречаются бифуркации контуров, составленных из сепаратрис седел. Одним из факторов, способствовавших исследованию таких бифуркаций, явилось обнаружение гомоклинических траекторий и сепаратрисных контуров в моделях, имеющих прикладное значение. Не последнюю роль здесь сыграла известная модель Лоренца, имеющая гомоклинический контур типа восьмерка–бабочка. Эта система исторически явилась первым примером, где было обнаружено хаотическое поведение.

При исследовании бифуркаций контуров главным образом рассматривается вопрос о количестве и устойчивости рождающихся при этом предельных циклов. Изучение бифуркаций рождения циклов из сепаратрисных контуров на двумерных поверхностях восходит к работам горьковской школы. Более широкие исследования в этом направлении были начаты после выдвинутой в 1985 г. В.И. Арнольдом и др. программы, посвященной описанию бифуркациям полициклов, возникающих в типичных двумерных малопараметрических семействах векторных полей. Недавние работы значительно расширили класс таких бифуркаций и существенно продвинули понимание сути происходящих при этом явлений.

Исследование бифуркаций векторных полей на плоскости и числа предельных циклов, рождающихся из полициклов, восходит к известной 16–й проблеме Гильберта (точнее к ее второй части): получить оценку сверху числа предельных циклов системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых суть многочлены. Вариант для полициклов называется «проблемой Гильберта–Арнольда»: доказать, что в типичном k–параметрическом семействе векторных полей на плоскости из полицикла рождается только конечное число предельных циклов, оцениваемое сверху постоянной, зависящей только от k.

Для решения этой проблемы, по крайней мере для двух– и трехпараметрических семейств векторных полей, необходимо знать все полициклы, встречающиеся в таких семействах. Полный список всех полициклов коразмерностей 1, 2 и 3 недавно (1995 г.) был опубликован. Этот список, называемый «зоопарком Котовой», включает все регулярные классы элементарных полициклов на ориентируемых двумерных многообразиях. Немного позже с помощью специально построенного формализма были исследованы регулярные классы полициклов коразмерности не выше 3 и определена верхняя оценка цикличности полициклов для каждого класса зоопарка Котовой.

Резюмируя, можно сказать, что все описанные направления связывает единый подход, который позволяет выявить много общего в таких, на первый взгляд очень разных приложениях. Таким образом, нелинейная динамика и синергетика образуют единое направление современной науки, и тесное взаимодействие этих разделов привело исследователей к качественно новым подходам в решении многих важных проблем математической физики.

Литература

А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику. — М. Наука. 1990.
Loskutov. Chaotic dynamics of chemical systems. — In: Mathematical Methods In Contemporary Chemistry. Ed. S.I. Kuchanov. — Gordon and Breach, USA. 1995. 181–265 c.
A.S. Mikhailov, A.Yu. Loskutov. Chaos and Noise. — Springer, Berlin. 1996.
"Новое в нелинейной динамике". — Физическая мысль России. 1997. т. 2/3. 1–112 с.
Ф. Мун. Хаотические колебания. — М.: Мир. 1990.
Е.А. Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol. I, II. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.
Chaos II, ed. Hao Bai–Lin. — Worls Sci., 1990.
Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. — М., Мир, 1988.
А. Лихтенберг, М. Либерман. Регулярная и стохастическая динамика. — М., Мир, 1984.
Lasota, M.C. Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. — Springer, Berlin, 1994.
H.C. Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. — М.–Л., Изд–во АН СССР, 1950.
L.A. Bunimovich, Ya.G. Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. — Commun. Math. Phys., 1981, v. 78, №4, 479–497 p.
Динамические системы. Том 2. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". — ВИНИТИ, 1985.
L.A. Bunimovich. Conditions of stochasticity for two–dimensional billiards. — Chaos, 1991, v. I, №2, 187–193 p.
Billiards. — France Mathematical Soc. Press, 1995.
А.Ю. Лоскутов, А.Б. Рябов, Л.Г. Акиншин. Механизм ускорения Ферми в рассеивающих бильярдах с возмущаемыми границами. — ЖЭТФ, 1999, т. 116, вып. 5, 1–17 с.
A.Yu. Loskutov. Non–feedback Controlling Complex Behaviour of Dynamical Systems. An Analytic Approach. — In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results, ed. J. Awrejcewicz. Academic Verlag, 1995, 126–150 p.
A.H. Дерюгин, А.Ю. Лоскутов, В.М. Терешко. К проблеме стабилизации неустойчивого поведения неавтономных динамических систем. — Теор. и матем, физика, 1995, т. 104, №3, 507–512 с.
Н.Л. Комарова, А.Ю. Лоскутов. Хаос и управление колебательными химическими реакциями. — Математическое моделирование, 1995, т. 7, №10, 133–142 c.
A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, К.A. Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata. — Int. J. Neural Networks, 1995, v. 6, 175–182 p.
A.N. Derjugin, A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko. Inducing stable periodic dynamics by parametric perturbations. — Fractals, Solitons, and Chaos, 1996, v. 7, №10, 1–13 p.
A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, K.A. Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one–dimensional maps. Int. J. Bif. and Chaos, 1996, v. 6, №4, 725–735 p.
Т. Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? — Nonlinear Sci. Today, 1993, v. 3, №2, 1–8 p.
Т. Shinbrot, С. Grebogi, E. On, J.A. Jorke. Using small perturbations to control chaos. — Nature, 1993, v. 363, 411–417 p.
L. Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps — A classical problem. — Chaos, 1991, v. 1, №1, 13–19 p.
A.T. Winfree. When Time Breaks Down: The Three–Dimensional Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias. — Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1987.
Л. Гласс, М. Мэки. От часов к хаосу. Ритмы жизни. — М., Мир, 1991.
M. Courtemanche, L. Glass, J. Belair, D. Scagliotti, D. Gordon. A circle map in a human heart. — Physica D, 1989, v. 40, 299–310 p.
L. Schamorth. The Disorders of the Cardiac Rhythm. — Blackwell, Oxford, 1980.
L. Olass, A.L. Goldberger, M. Courtemanche, A. Shrier. Nonlinear dynamics, chaos and cardiac arrhythmias. — Proc. R. Soc. London, Scr. A, 1987, v. 413, 9–26 p.
A.L. Goldberger. Nonlinear dynamics, fractals, and chaos: applications to cardiac electrophysiology. — Ann. Biomed. Eng., 1990, v. 18, №2, 195–209 p.
Garfinkel, M.L. Spano, W.L. Ditto. Controlling cardiac chaos. — Science, 1992, v. 257, 1230–1235 p.
А.Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия. Прикладная нелинейная динамика, 1994, т. 2, №3–4, 14–25 c.
S. Hayes, С. Orebogi, E. Ott. Communicating with chaos. — Phys. Rev. Lett., 1993, v. 70, №20., 3031–3034 p.
S. Hayes, С. Orebogi, E. Ott, A. Mark. Experimental control of chaos for communication. — Phys. Rev. Lett, 1994, v. 73, №13, 1781–1784 p.
A.A. Бредихин, А.Ю. Лоскутов. Временные ряды с переменной дисперсией и финансовые рынки России. — Анализ риска, 1998, т. 1, №1, 28–45 с.
R.P. Engle. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of U.K. inflation. — Econometrica, 1982, v. 50, 987–1008 p.
A.K. Bera and M.L. Higgins. ARCH models: properties, astimation and testing. — J. Econ. Surveys, 1993, v. 7, 305–366 p.
J.–M. Zakoian. Threshold heuroscedasticity model. — Mimeo, 1990, INSEE. Paris.
Фракталы в физике. Ред. Я.Г. Синаи и И.М. Халатников. — М., Мир, 1988
E. Федер. Фракталы. — М., Мир, 1991.
К. Kaneko. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements. — Physica D, 1990, v. 41, №2, 137–172 p.
Chaos, 1992, v. 2, №3 (Номeр, целиком посвяшенный решеткам сцепленных отображений).
Р. Gray and S.K. Scott. Chemical Oscillations and Instabilities. — Oxford Universiti Press, 1990.
H.G. Othmer. Nonlinear Oscillations in Chemistry and Biology. — Springer, Berlin, 1987.
Mathematical Models of Chemical Reactions: Theory and Applications of Deterministic and Stochastic Models. Eds. P. Erdi, J. Toth. — Manchester Univ. Press and Princeton Univ. Press, 1989.
Concerning the Hilbert 16th problem. Eds. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko. — АМS Transl. Ser. 2, 1995, v. 165. (Adv. Math. Sci., v. 23)
Kotova, V. Stanzo. On few–parameter generic families or vector fields on the two dimensional sphere. — AMS Transl. Ser. 2, 1995, v. 165. (Adv, Math. Sci., v. 23), 155–201 p.
С.И. Трифонов. Цикличность элементарных полициклов типичных гладких векторных полей. — Труды Матем. ин–та им. В.А. Стеклова, 1997, т. 213, 152–212 с.
Д.Н. Дерюгин, Л.Ю. Лоскутов. О рождении предельных циклов из сепаратрисного контура в трехпараметрнческом семействе динамических систем на двумерных ориентируемых многообразиях. — Дифференциальные уравнения, 2000.