Нелинейность всепроникающа и вездесуща, многолика и неисчерпаемо разнообразна. Она повсюду: в большом и в малом, в явлениях быстротечных и длящихся эпохи. Нелинейность — это рождение и аннигиляция элементарных частиц, гигантское красное пятно на Юпитере и оглушительный хлопок пастушьего кнута, биение сердца и всепроникающий луч лазера, теплый свет свечи и нескончаемая изменчивость волн, болезни и исцеление, вызов искусству аналитика и мастерству экспериментатора, надежды и бессилие создателей теорий и тех, кто подвергает их замыслы суровой экспериментальной проверке

Классический аппарат естествознания был создан прежде всего на линейной основе равным изменениям одной — независимой — величины должны непреложно отвечать равные перемены в зависимой. И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа, однако, не укладывается в рамки пусть строгой и стройной, но, увы, чересчур идеальной схемы.

Вне этих рамок — но ближе к реальности властвует нелинейность.

Современную физику, наряду со многими отличающими ее от физики прошлого эпитетами, несомненно, можно именовать и нелинейной. Причем это название отмечает не столько черту, одну из характеристик науки, сколько отражает ее переход на новую — нелинейную ступень познания.

Использование нелинейных математических моделей позволяет объединить и описать большой круг разрозненных явлений, обнажить их глубинную сущность.

О качественно новых особенностях, вносимых нелинейностью в науку, рассказывает предлагаемая вниманию читателя статья.

Среди множества почетных титулов, которые принес нашему веку прогресс науки, «век нелинейности» — один из наименее звучных, но наиболее значимых и заслуженных.

Нелинейность всепроникающа и вездесуща, многолика и неисчерпаемо разнообразна. Она повсюду: в большом и в малом, в явлениях быстротечных и длящихся эпохи. Нелинейность — это рождение и аннигиляция элементарных частиц, гигантское красное пятно на Юпитере и оглушительный хлопок пастушьего кнута, биение сердца и всепроникающий луч лазера, теплый свет свечи и нескончаемая изменчивость волн, болезни и исцеление, вызов искусству аналитика и мастерству экспериментатора, надежды и бессилие создателей теорий и тех, кто подвергает их замыслы суровой экспериментальной проверке.

Нелинейность — понятие емкое, с множеством оттенков и градаций. Нелинейность эффекта или явления означает одно, нелинейность теории — другое.

Нелинейный эффект — это эффект, описываемый некоторой нелинейной зависимостью. Математически такого рода зависимости выражаются нелинейными функциями одного или нескольких переменных.

Мир линейных функций утомительно однообразен: стоит изучить лишь одну линейную функцию, как вы знаете все наиболее существенное о всех линейных функциях. Не приносит каких-либо неожиданностей и переход к большему числу измерений. Геометрический образ линейной функции, каков бы ни был ее физический смысл, в зависимости от числа независимых переменных — прямая, плоскость или гиперплоскость. На одинаковые приращения независимой переменной линейная функция беспристрастно (то есть независимо от значения независимой переменной) откликается одинаковыми приращениями. Это означает, что линейная зависимость не обладает избирательностью. Она не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний — ничего, кроме равномерного неуклонного роста или столь же равномерного и столь же неуклонного убывания.

Мир нелинейных функций так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствуют изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса. Геометрический образ нелинейной функции — кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром нелинейных и миром линейных явлений.

В какой бы области естествознания ни возникала нелинейность явлений, она глубоко «функциональна». В физике нелинейность — это учет различного рода взаимодействий, обратных влияний и тонких эффектов, ускользающих от более грубых сетей линейной теории. В химии нелинейность отражает обратные связи в сокровеннейших механизмах реакций. В биологии нелинейность исполнена высокого эволюционного смысла: только сильная нелинейность позволяет биологическим системам «…услышать шорох подползающей змеи и не ослепнуть при близкой вспышке молнии. Те биологические системы, которые не смогли охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не выдержав борьбы за существование. На их могилах можно было бы написать: «Они были слишком линейными для этого мира» (А. М. Молчанов).

Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой — линейный или нелинейный — математический аппарат она использует.

В прошлом физика знала немало нелинейных теорий (хотя число их, разумеется, не шло ни в какое сравнение с числом нелинейных теорий, известных ныне). Вспомним хотя бы такие исконно нелинейные физические теории, как гидродинамика или небесная механика. И все же физику прошлого даже с большой натяжкой нельзя было бы назвать нелинейной. Для этого ей недоставало главного нелинейность еще не заняла подобающего места среди «первых принципов», на которых зижделось тогда физическое мышление. Большинство физиков пребывало в уверенности, что в великой книге природы основная линия развития сюжета проходит в стороне от нелинейных разделов и глав, набранных как бы петитом, и их (по крайней мере при первом чтении) можно опустить без особого ущерба для понимания.

Во мнении, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лице линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводов линейной теории, физиков прошлого укрепляли блестящие успехи линейной теории и в первую очередь ее высочайшее достижение — электродинамика Максвелла.

Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин «нелинейность»: его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности и определили через ее отрицание. Современный физик, доводись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего поступил бы иначе и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей определил бы линейность как «не нелинейность». Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных ярким физическим содержанием идей и образов, позволяющих физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.

Не следует думать, однако, будто богатейший опыт прошлого, нашедший свое концентрированное выражение в «линейном физическом мышлении», пропадает втуне для познания нелинейных явлений: среди решений линейных уравнений, разностных, обыкновенных дифференциальных с частными производными, интегральных и интегродифференциальных и т. п. имеется немало нелинейных функций, вполне пригодных для описания некоторых нелинейных явлений.

Впрочем, заблуждаются не только те, кто недооценивает возможности линейной теории, но и те, кто считает ее всесильной: далеко не всякая нелинейная функция, описывающая тот или иной физический эффект, может быть решением линейного уравнения. Среди нелинейных функций встречаются и совсем «дикие», не удовлетворяющие никаким — ни линейным, ни нелинейным уравнениям.

Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, — принцип суперпозиции — позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.

Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было «не так» — противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. «Искусственная линеаризация» оказывалась малоэффективной, «…большей частью ничему не научала, а иногда бывала и прямо вредной» (Л. И. Мандельштам).

Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П. А. М. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь ненадежным компасом линейной интуиции, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов. Приведем один весьма красноречивый пример.

Линейные теории теплопроводности и диффузии по существу тождественны: в линейном приближении законы Фурье и Фика «устроены» одинаково, уравнения теплопроводности и диффузии с точностью до обозначений совпадают. Если создать начальное возмущение температуры или концентрации, то со временем оно «рассосется», распределение температуры и концентрации будет стремиться к постоянному. Каково же было изумление ученых, когда выяснилось, что если диффузия сопровождается химической реакцией или теплопроводность наблюдается в среде с распределенными источниками тепла, то начальное возмущение может переходить в бегущую волну, движущуюся со скоростью, намного превышающей скорость диффузии! Важность открытия волнового режима в системах диффузионного типа станет ясной, если учесть, что такие системы описывают процессы, происходящие при горении газовых смесей, распространении нервного импульса, транспорта ионов через клеточные мембраны, динамику популяций различных организмов и многое другое.

О том, сколь неожиданным было это открытие, красноречиво свидетельствует следующий отрывок из обзора «Электрофизика нервного волокна» Альвина Скотта:

«Если оглянуться назад, то окажется, что математики упустили прекрасную возможность получить важные научные результаты только потому, что игнорировали изучение нелинейного уравнения диффузии. Исключением была работа А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова «Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества«… Они показали, что любое начальное возмущение в виде перепада стремится к одному и тому же уединенному стационарному решению типа бегущей волны. Авторы изучили это решение… и получили в явном виде выражение для скорости.

…То, что математики не сумели своевременно изучить уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, не может быть объяснено слабостью их техники перед лицом огромных математических трудностей… Препятствие, вероятно, заключалось в том, что математики автоматически перенесли вывод о неволновом поведении решений волнового дифференциального уравнения на нелинейный случай.

…Чтобы иметь наглядный пример нелинейной диффузии, достаточно взять обыкновенную свечу, веками освещавшую рабочие столы ученых. Диффузия тепла от пламени освобождает от воска все новые участки фитиля, которые, в свою очередь, загораются и служат новыми источниками тепла».

Итак, уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода «математического старательства» и принимается решать нелинейные задачи «поштучно», используя их специфические индивидуальные особенности. «Этот путь, конечно, сам по себе правилен, — писал Л. И. Мандельштам в предисловии к первому изданию «Теории колебаний» А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина. — Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие все свое значение и в настоящее время… И сейчас иногда удобно в том или ином случае идти по этому пути.

Но не говоря уже о том, что фактически такие решения отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития».

Выделенные курсивом слова «нелинейных колебаний» не уменьшают общности утверждения. Их следует читать, как «нелинейной физики» — ведь они принадлежат Л. И. Мандельштаму, считавшему, что «…главные открытия в физике, начиная с открытия Коперника, были по существу колебательными и что, может быть, прав английский математик и философ Уайтхед, утверждающий, что рождение физики связано с применением абстрактной идеи периодичности к большому числу отдельных конкретных явлений» (А. А. Андронов).

Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы — линейной физики. Необходимо создать «…нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» (А. А. Андронов). Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный советский физик академик Л. И. Мандельштам.

Ученый широчайшего кругозора, тонкий знаток «линейной колебательной культуры», Л. И. Мандельштам по достоинству оценил «интернациональный язык» нелинейной теории колебаний, позволяющий устанавливать изоморфизм внешне, казалось бы, далеких явлений, большую эвристическую силу выработанных ею математических понятий, воспринимаемых не абстрактно, а в непосредственной связи с целым комплексом физических явлений, даваемую отточенной физической интуицией возможность предугадывать решения в одних и «правильно допрашивать дифференциальные уравнения» в других случаях.

«Нелинейное физическое мышление» Л. И. Мандельштама, апеллирующее к наглядным физическим образам или, точнее, к образам, обретающим наглядность после того, как они пережиты физиком «с той интенсивностью, с какой человек переживает наиболее важное из лично его касающегося» (Г. С. Горелик), обнаруживает глубокую аналогию с, казалось бы, противоположным по своей основной тенденции «структурным» подходом Эмми Нетер, научившей математиков различать за конкретными деталями задачи контуры некой абстрактной схемы — математической структуры, задаваемой аксиоматически. Суть «структурного» подхода, сформулированная Н. Бурбаки в статье «Архитектура математики», звучит как парафраз мандельштамовской программы создания «нелинейной культуры»:

«Структуры» являются орудиями математика, каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы».

Без «структурного» подхода Эмми Нетер мир не знал бы современной алгебры, во многом определяющей лицо всей современной математики. Без «нелинейного физического мышления» Л. И. Мандельштама не было бы современной нелинейной физики, во многом определяющей лицо всей современной физики. Абстрактные математические структуры, жестко регламентированные сухим перечнем аксиом, и нелинейные физические понятия, определяемые лишь на эвристическом уровне строгости, едины в главном — они обнажают глубинную сущность явлений.

Основное оружие нелинейно мыслящего физика — математические модели, но в отличие от периода математического «старательства», когда каждая задача решалась сама по себе и для себя, эти математические модели представительны, или массовы, — они описывают целые классы явлений, объединенных по какому-то признаку. Математическая модель, даже самая удачная, — не портрет типичного представителя описываемого класса явлений, выраженный в реалистической манере, а скорее карикатура на него: одни детали опущены, другие утрированы, но в целом портретное сходство сохранено настолько, что явление узнаваемо. Появившись на свет, модель начинает жить самостоятельной жизнью и нередко преподносит своему создателю приятные и неприятные сюрпризы, обнаруживая свойства, о которых тот и не помышлял. «Модель (идеализация) мстит» (Л. И. Мандельштам).

Современные математические модели представляют собой нелинейные уравнения или системы нелинейных уравнений различных типов. Хотя нелинейные уравнения несколько утратили былой ореол неприступности, все же найти аналитически замкнутое решение удается лишь в исключительных случаях. Точно решаемые модели обычно не находят, в специально конструируют, чтобы отработать на них стратегию и тактику штурма нерешаемых точно моделей. Обычно успеха удается добиться, комбинируя численные и аналитические методы. Н. Забуский назвал комбинированный подход синергетическим (от греческого «синергетика» — совместное, или согласованное действие). «Синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам, — писал он, — можно определить как совместное использование анализа и численной машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов относительно математического и физического содержания уравнений».

Нелинейны не только эффекты и уравнения нелинейной физики, но и развитие нелинейной физики, как, впрочем, и всей физики в целом. «График, с помощью которого можно было бы изобразить процесс развития физики в зависимости от времени, по форме должен быть очень похож на взлетную траекторию современного скоростного самолета. Сравнительно длинный разбег, плавный отрыв от земли и — почти немедленный вслед за этим — переход к крутому подъему со все ускоряющимся набором высоты» (Л. А. Арцимович).

Нелинейный мир велик и необъятен, и хотя на карте его сейчас немало белых пятен, уже имеется несколько обжитых (или, точнее, обживаемых) островков. Перечень их пока сравнительно краток, но зато обладает завидным преимуществом — он неполон, так как непрестанно растет. За каждой строкой этого перечня — своя история, порой весьма захватывающая и драматичная, свои судьбы, свои герои и труженики. У каждой свое предназначение. Одним суждено бесследно исчезнуть, растворившись в будущей теории, другим предстоит жизнь долгая и славная, но все вместе они образуют живую ткань единого целого, имя которому — Нелинейная Наука. Мы не ставим точки — она не будет поставлена никогда. Прощаясь с читателем, мы ставим оптимистическое многоточие — нелинейная физика живет и развивается, она на пороге новых значительных открытий…

Ю. Данилов